7.4.2. Планирование экспериментов

В качестве примера применения спектрального анализа в планировании экспериментов рассмотрим следующую задачу. Пусть требуется составить план эксперимента для оценивания наклона поверхности отклика имея в виду использование этой поверхности для нахождения максимума или минимума Например, при могло бы быть выходом химического продукта или себестоимостью одной его тонны, а у — скоростью подачи сырья в реактор. На практике можно различать две ситуации. В первой значения процесса получены из отдельных партий, а переменные и устанавливаются перед началом выпуска каждой партии. Первая ситуация имеет место и тогда, когда процесс является непрерывным, но его регулировки проводятся столь часто, что в промежутках между ними изменением характеристик процесса можно пренебречь. Во втором случае процесс является непрерывным и наклон также измеряется непрерывно, как в управляющих системах поиска максимума [19]. Используя выборочную оценку наклона, управляющая система может подправить значения переменных, управляющих процессом, с тем чтобы максимизировать выход продукции или минимизировать ее себестоимость.

Предположим, что в первой ситуации значения подправляются через единичные интервалы времени

Предположим далее, что амплитуда а косинусоидальной волны фиксирована и что требуется выбрать ее период так, чтобы минимизировать дисперсию оценки наклона. Считая, что модель линейная, т. е.

где — шум, или ошибка, получим обычную выборочную оценку наименьших квадратов для

В приложении показано, что дисперсия соответствующей оценки приблизительно равна

Следовательно, при фиксированном а дисперсия достигает минимума, когда частота возмущающего сигнала соответствует минимуму в спектре шума. Другими словами, максимизируется отношение сигнал/шум

Для второй ситуации возмущающий сигнал есть косинусоидальная волна

В Приложении П7.2 показано, что дисперсия наклона в этом случае минимизируется тогда, когда достигает максимума величина

В (7.4.3) есть значение функции усиления системы на частоте

Пример 3. Данные о партиях продукта на рис. 5.2 были получены без каких-либо преднамеренных изменений переменных, управляющих процессом. Таким образом, функция показанная на рис. 7.15, дает выборочную оценку спектра шума процесса. Эту информацию можно использовать при планировании эксперимента, где некоторая переменная, управляющая процессом, намеренно изменяется по косинусоидальному закону (7.4.1) или по другому периодическому закону, скажем, в виде прямоугольной волны с периодом

Из рис. 7.15 видно, что спектр почти плоский от до гц, но резко возрастает при гц. Поскольку соответствует частоте гц, а 62 соответствует диапазону от 0 до 0,25 гц, то, очевидно, любое значение было бы приемлемым. Однако имеются серьезные причины выбирать возможно более высокую частоту, поскольку существуют низкочастотные тренды и сносы, увеличивающие дисперсию на этих частотах. Поэтому значение представлялось бы разумным, учитывая форму выборочного спектра.