11.2.3. Многомерные линейные системы
В разд. 10.3 была описана методика оценивания частотной характеристики системы, имеющей один вход и один выход. В общем случае физическая система имеет несколько входов и несколько
выходов. Например, на рис. 11.1 приведены участки некоторых непрерывных записей, соответствующих двум входам и двум выходам турбогенератора. Теперь мы покажем, что многомерную линейную систему во временной области можно описать матрицей откликов на единичный импульс, а в частотной — матрицей частотных характеристик.
Рис. 11.1. (см. скан) Входные и выходные процессы 
-мегаваттного турбогенератора.
Матрица откликов на единичный импульс. Если многомерная система является линейной, то любой ее выход представляет собой сумму вкладов от 
входных переменных, т. е.
Полный отклик системы, состоящий из 
выходов 
можно записать в матричном виде следующим образом:
где матрица откликов на единичный импульс 
задается соотношением
Пример. Рассмотрим общую многомерную систему, которая в двумерном случае имеет вид (8.1.17),
Эта система имеет следующую матрицу откликов на единичный импульс:
Например, в двумерном случае, когда
матрица откликов на единичный импульс равна
Матрица частотных характеристик. Другой способ описания многомерной системы состоит в задании матрицы частотных характеристик, т. е. матрицы, элементы которой являются преобразованиями Фурье от элементов матрицы откликов на единичный импульс, а именно
Таким образом, матрицу частотных характеристик можно записать в виде
Взяв преобразование Фурье от (11.2.10), мы находим, что спектральные амплитуды выходов на частоте 
можно получить из равенства
которое является матричным аналогом равенства (2.3.23). Например, для двух выходов и трех входов из (11.2.14) получаем
В частном случае, когда на входы подается комплексный сигнал 
отклик 
выхода равен
Для всей системы равенства (11.2.15) можно записать в матричном виде
где 1 — вектор, целиком состоящий из единиц.
Из (11.2.14) можно получить полную частотную характеристику системы на данной частоте. Таким образом, полные функции усиления равны
а полные фазовые сдвиги равны
Пример. Рассмотрим многомерную систему
Ее матрица частотных характеристик равна
где I — единичная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а на остальных местах — нули.
Для обсуждавшейся выше системы второго порядка
мы имеем
Взяв обратное преобразование Фурье от этого выражения, получаем уже упоминавшуюся выше формулу (11.2.12)
