8.1.4. Двумерные линейные процессы

В модели (8.1.5) предполагалось, что флуктуации процесса вызывают флуктуации процесса Более общая модель взаимной корреляции двух случайных процессов получится, если предположить, что флуктуации процессов вызываются двумя другими источниками которые влияют на эти процессы по-разному. Например, в простейшем случае

где — некоррелированные процессы белого шума с дисперсиями Отсюда получаем

Переходя к более общему случаю, предположим, что двумерный случайный процесс порождается так, как указано на структурной схеме на рис. 8.5. Два источника белого шума подаются на входы четырех линейных систем с функциями отклика на единичный импульс соответственно. Выходы от первой и третьей систем складываются и образуют процесс а выходы от второй и четвертой систем, складываясь, дают процесс Таким образом, мы имеем

Случайный процесс (8.1.14) называется двумерным линейным процессом.

Ковариационные функции двумерного линейного процесса. Если источники белого шума взаимно некоррелированы, т. е.

то, используя (5.2.10), получаем

Для дискретных процессов формулы получаются из приведенных выше с помощью замены интегралов на соответствующие суммы.

Рис. 8.5. Схематическое представление двумерного линейного процесса.

Формулы (8.1.15) показывают, что, подбирая соответствующие функции отклика на единичный импульс можно получить двумерный случайный процесс с любыми наперед заданными взаимной ковариационной и автоковариационными функциями.

Можно получить еще более общую модель, если допустить возможность корреляции белых шумов в (8.1.14) в одинаковые моменты времени, т. е.