7.1.3. Влияние формы окна на сглаживание

Другим относящимся к сглаживанию вопросом, которым мы сейчас займемся, является влияние использования различных спектральных окон. Мы сравним между собой окна Бартлетта, Тьюки и Парзена.

Для вычисления средних сглаженных нормированных спектров был использован процесс авторегрессии первого порядка (7.1.8). Эти спектры соответствовали корреляционным окнам при фиксированных значениях точки отсечения и обозначались Такие спектры показаны на рис. 7.10 вместе с теоретическим нормированным спектром сглаженные спектры получены при значении точки отсечения равном 12.

Большое смещение и осцилляции сглаженного спектра для окна Бартлетта явно заметны. Однако вблизи пика окно Бартлетта дает небольшое смещение. Этого следовало ожидать, исходя из формулы (6.3.37), дающей смещения для этих трех окон. Таким

образом, смещение для окон Бартлетта связано с первой производной спектра, которая мала в окрестности пика, но велика там, где спектр имеет крутой склон. Равенство (6.3.37) показывает, что главный член в выражении для смещения в окнах Тьюки и Парзена зависит от второй производной спектра, которая мала там, где спектр приблизительно линеен, и относительно велика вблизи пика.

Рис. 7.10. Средние сглаженные нормированные спектры для процесса авторегрессии первого порядка

В целом окно Тьюки имеет при данном значении точки отсечения наименьшее смещение. Впрочем, если сравнить окна Парзена и Тьюки с одинаковой шириной полосы частот, то сглаженные спектры будут почти одинаковы по форме.

То же самое можно сказать при сравнении дисперсий оценок, соответствующих этим двум окнам. Согласно (6.4.25),

Следовательно, если ширина полосы частот у двух оценок одинакова, то они имеют одну и ту же дисперсию. Из табл. 6.6. видно, что ширина полосы частот окна Парзена в 1,4 раза больше, чем окна Тиюки. Поэтому окно Тьюки с точкой отсечения такую ширину полосы частот и такую же дисперсию, что и окно Парзена с

Таким образом, для двух оценок, соответствующих окнам с одинаковой шириной полосы частот, и дисперсия, и смещение приблизительно одни и те же.

Рис. 7.11. Сравнение окон Тьюки и Парзена, имеющих эквивалентную полосу частот, на процессе авторегрессии первого порядка

Отсюда следует, что если два спектральных окна имеют приемлемую форму и одну и ту же ширину полосы частот, то соответствующие им выборочные оценки спектра должны быть очень похожи. На рис. 7.11 как раз проделано такое сравнение окон Тьюки и Парзена для реализации процесса авторегрессии первого порядка с и

Сплошная линия обозначает выборочную оценку Тьюки при крестики — выборочную оценку Парзена при Аналогично пунктирная линия обозначает выборочную оценку Тьюки при сплошные кружки — выборочную оценку Парзена при Согласие при этом столь велико, что можно без опасения утверждать, что при использовании одного из этих окон вместо другого мы не упустили бы ни одной важной особенности спектра. Следовательно, эмпирические результаты этого раздела показывают, что важным вопросом в практическом спектральном анализе является выбор ширины полосы частот, а не выбор формы окна. Эти вопросы мы обсудим полнее в разд. 7.2.4 и 7.2.5.