7.3. ПРАКТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОЦЕНИВАНИЯ СПЕКТРОВ

В этом разделе обсуждаются некоторые более практические аспекты оценивания спектров, первый из которых (разд. 7.3.1) относится к планированию спектрального анализа. В следующем

разделе описывается пробное оценивание спектра, которое иллю стрируется на примере с партиями продукта, изображенными на рис. 5.2. Затем в разд. 7.3.3 дается полезная практическая методика, которой следует придерживаться при выполнении спектрального анализа. Эта процедура иллюстрируется в разд. 7.3.4 на двух практических примерах, показывающих пользу метода стягивания окна. В разд. 7.3.5 показывается, как можно использовать цифровую фильтрацию для улучшения выборочных спектральных оценок.

7.3.1. Планирование спектрального анализа

Сейчас мы покажем, как можно планировать спектральный анализ до сбора данных и, в частности, как можно выбирать длину записи, чтобы выполнялись некоторые требования. Имеются четыре основных требования, которые должны быть удовлетворены.

1. Интервал отсчета А должен быть настолько мал, чтобы спектр можно было оценить в интересующем нас диапазоне частот .

Следовательно, должно быть не больше 1/2/0.

2. Следует позаботиться о том, чтобы избежать наложения частот. Это можно осуществить одним из двух способов. В первом надо взять А столь малым, чтобы можно было считать фактически равным нулю при Однако для этого нужны исходные сведения о спектре, которых может и не быть. Кроме того, нас могут интересовать значения спектра лишь для частот меньше некоторой частоты Если гораздо меньше той частоты, за которой можно считать нулем, то нужно будет брать расчеты с гораздо меньшим интервалом по времени, чем это требуется для интересующих нас частот Второй способ состоит в фильтрации сигнала до взятия отсчетов, так что мощность на частотах выше фактически устраняется. Это легче всего сделать в аналоговом виде. Следует отметить, что некоторая предусмотрительность на этой стадии обработки данных может в дальнейшем избавить от значительных неприятностей и сэкономить усилия.

3. Допустим, что можно сделать предположение о ширине а самой узкой существенной детали спектра или, наоборот, требуется «обнаружить» деталь спектра шириной не меньше а. Тогда точку отсечения М нужно выбрать так, чтобы ширина полосы частот окна была меньше а. Например, для окна Тьюки это означает, что или При этом для числа вначений дискретной ковариационной функции, которые нужно сосчитать, должно выполняться неравенство . В общем случае точку отсечения следует выбирать из равенства

где b - нормированная ширина полосы частот. Отсюда необходимое число ковариаций

4. Для конечных записей возможность точного оценивания ширины пиков или степень выявления тонких деталей спектра зависит также от дисперсии оценки. Следовательно, чтобы можно было верить в тонкую структуру выборочной оценки спектра, нужно иметь возможность удерживать заданный уровень устойчивости. Этого можно добиться, задавая желаемое для каждого оцениваемого значения спектра число степеней свободы скажем от 15 до 30, и определяя затем длину записи Т из (6.4.26) и (7.3.1). Это дает

и, следовательно, из (7.3.2) получается

Затем на рис. 3.10 можно найти значение -ного или 95%-ного доверительного интервала, соответствующего данному числу степеней свободы. Если полученный таким способом доверительный интервал слишком велик, то, увеличив (и, следовательно, увеличив мы уменьшим его, правда за счет увеличения времени вычислений и усилий, потраченных на сбор данных.

Простую интерпретацию формулы (7.3.4) можно получить, рассматривая сглаженные спектральные оценки, отстоящие по частоте на ширину полосы частот спектрального окна. Ковариация этих оценок приблизительно равна нулю, так как при таком расстоянии по частоте спектральные окна почти не перекрываются. Поэтому число независимых сглаженных спектральных оценок в полосе частот от 0 до равно так что Однако несглаженные спектральные оценки, отстоящие на распределены как независимые величины с двумя степенями свободы. Поскольку в интервале от 0 до содержится таких независимых несглаженных оценок, полное число степеней свободы, относящееся к каждой сглаженной оценке (т. е. к каждому оцениваемому значению спектра), равно . Следовательно,

Важная особенность формулы (7.3.3) состоит в том, что длину записи можно задавать независимо от спектрального окна и она зависит лишь от и а.

Пример. Предположим, что требуется оценить спектр мощности в диапазоне до гц и можно без опасений считать, что за этой частотой нет сколько-нибудь заметной мощности. Таким образом,

не будет неприятностей из-за наложения частот. Тогда, согласно требованию 1, мы имеем

Если можно предположить, что ширина самого узкого пика в спектре равна по крайней мере 0,20 гц, а устойчивость, даваемая 30 степенями свободы, представляется подходящей, то из (7.3.3) длина записи должна быть не менее

Следовательно, требуется точек данных. Из рис. 3.10 находим, что для 30 степеней свободы 80%-ный доверительный интервал для приблизительно равен т. е. получается -ная относительная ошибка. Чтобы уменьшить этот доверительный интервал, скажем, до потребовалось бы , следовательно, сек,

Приведенные выше вычисления имеют некоторое значение, когда заранее решается вопрос о длине записи, однако следует подчеркнуть, что после того, как данные собраны, требуется другой подход. Таким образом, если анализ предназначен для разделения пиков шириной а, то может случиться, что после сбора данных перед началом анализа обнаружится неправильность наших предположений о величине а. Следовательно, нужно приспособить, как указывалось в разд. 7.2, действительный анализ спектра к имеющимся данным. Это и дает основание воспользоваться процедурой стягивания окна, описанной в разд. 7.2.4.