8.4.3. Взаимные спектры двумерных линейных процессов
В разд. 8.1.4 было показано, что весьма общая модель двумерных случайных процессов получается, если пропустить два белых шума 
через систему, показанную на рис. 8.5.
Авто и взаимные ковариации этого процесса задаются выражениями (8.1.15). Мы воспользуемся ими сейчас для того, чтобы вывести соответствующие авто- и взаимные спектры. Обозначим частотные характеристики четырех систем в структурной диаграмме на рис. 8.5 через
Выражения для авто- и взаимных спектров можно теперь получить, беря преобразования Фурье от равенств (8.1.15). Так, взяв преобразования от первых двух из этих равенств и используя (6.2.16), мы находим автоспектры
Чтобы получить взаимный спектр, заметим, что последние два из равенств (8.1.15) можно объединить в одно:
которое теперь справедливо при 
. Взяв преобразование Фурье от обеих частей этого равенства, получаем взаимный спектр
Таким образом, вычисление взаимного спектра сводится к нахождению частотных характеристик соответствующего двумерного линейного процесса (8.1.14).
Частотные характеристики 
можно получить очень просто, взяв преобразование Фурье от равенств (8.1.14). Подставив 
в (8.4.12) и (8.4.14), можно получить явные выражения для авто- и взаимных спектров. Эту процедуру лучше проиллюстрировать на примере.
Пример. Рассмотрим непрерывный двумерный процесс авторегрессии
Беря преобразование Фурье от этих равенств и используя свойство дифференцирования 
получаем
Эти уравнения можно решить относительно 
Аналогичным образом, взяв преобразование Фурье от (8.1.14), получим
Отсюда
где
Наконец, воспользовавшись равенствами (8.4.12) и (8.4.14), получаем авто- и взаимный спектры двумерного процесса
Взаимные спектры дискретных двумерных линейных процессов. Выражения для авто- и взаимных спектров дискретных двумерных линейных процессов можно получить аналогичным образом. Для иллюстрации этой процедуры рассмотрим дискретный двумерный процесс (8.1.20)
где 
— некоррелированные белые шумы. Взяв 
-преобразование, получим
Эти уравнения можно решить относительно 
Делая замену 
получаем частотные характеристики
где
Наконец, воспользовавшись равенствами (8.4.12) и (8.4.14), получаем авто- и взаимный спектры двумерного процесса
где 
В частном случае при 
равенства (8.4.15) сводятся к
