7.2.2. Степень искажения и устойчивость

Общая цель любого спектрального анализа состоит в том, чтобы как можно точнее оценить функцию Для этого требуется выполнение двух условий.

1. Средний сглаженный спектр должен как можно меньше отличаться от т. е. должно быть малым смещение

Если это требование выполняется одновременно для всех то говорят, что воспроизводит с малой степенью искажения

2. Дисперсия сглаженной спектральной оценки

должна быть мала. Если это верно, то говорят, что оценка имеет высокую устойчивость.

Чтобы проиллюстрировать, что требования уменьшения степени искажения и увеличения устойчивости являются противоречивыми, мы снова вернемся к некоторым эмпирическим выводам разд. 7.1.

Малая степень искажения. Рассмотрим сначала на рис. 7.2 график функции для процесса авторегрессии первого порядка с . С помощью окна Тьюки можно получить малую степень искажения для частот, меньших 0,375 гц, если взять точку отсечения т. е. ширину полосы частот окна . Истинный спектр имеет широкий пик с центром на частоте , и, чтобы получить сравнимую степень искажения в окрестности гц, нужно взять точку отсечения

Процесс авторегрессии первого порядка с имеет гораздо более узкий пик на той же частоте гц. Из рис. 7.5 видно, что для умеренной степени искажения при использовании окна Бартлетта требуется, чтобы значение точки отсечения было не менее 48, т. е. ширина полосы частот окна составляла 0,031 гц.

Заметим, впрочем, что в этом случае изображена в логарифмическом масштабе, так что степень искажения измеряется величиной

а не величиной

как в предыдущем примере. Нам кажется, что степень искажения логичнее измерять в логарифмическом масштабе, а не в линейном, поскольку существенны относительные, а не абсолютные искажения мощности. Отметим, что при степень искажения вблизи пика такого же порядка, как и в интервале гц. Следовательно, в этом случае окно с одной и той же шириной полосы частот подходит для оценивания всего спектра.

Процесс второго порядка на рис. 7.7 имеет более сложный спектр, в котором пик, в отличие от предыдущего примера, расположен внутри интервала частот. На рис. 7.7 показана функция для окна Парзена, и мы видим, что при график воспроизводит пик с малой степенью искажения, в то время как при и 16 кривые на графиках идут намного ниже пика. Если ширину пика определить как расстояние между точками, где мощность уменьшается до половины пиковой, то в этом случае, как видно из рис. 7.7, ширина равна примерно 0,08 гц. Значения ширины полосы частот окна Парзена при и 32 равны 0,11 и

0,06 гц соответственно. Следовательно, при полоса частот окна меньше ширины пика, в результате чего и получается малая степень искажения.

На рис. 7.12 показан еще более сложный спектр, соответствующий случайному процессу, состоящему из двух узкополосных источников белого шума, причем расстояние с между полосами мало. Для получения малой степени искажения в этом случае требуется спектральное окно с шириной полосы частот порядка с, т. е. порядка расстояния между полосами спектра. Следовательно, можно сделать следующий общий вывод: для получения малой степени искажения ширина полосы частот окна должна иметь тот же порядок, что и ширина самой узкой существенной детали спектра. Таким образом, при планировании спектрального анализа до того, как собраны данные, нолезно иметь приблизительные оценки ширины самой узкой детали спектра. Этот вопрос мы обсудим в разд. 7.3.1.

Термин разрешающая способность был введен в [2] для описания аналогичного явления. Эта оптическая аналогия предполагает,

что делается попытка разрешить линии в спектре, т. е. разрешить спектр вида

В этом случае говорят, что -функции, или пики, спектра разрешены, если ширина полосы частот окна меньше расстояния между пиками по частоте. Это наводит на мысль о том, что такое понятие не является очень полезным в спектральном анализе, так как реальные спектры не могут быть описаны с помощью -функций; иначе говоря, пики никогда не имеют нулевой ширины.

Рис. 7.12. Степень искажения при оценивании белого шума, состоящего из двух полос.

Кроме того, как показано выше, важна именно ширина существенных деталей спектра, а не просто расстояние по частоте между пиками.

Высокая устойчивость. В разд. 7.1 было показано, что малая степень искажения достигается при определенном значении ширины полосы частот окна, однако и при этом все же могут получаться плохие выборочные оценки спектра, если длина записи слишком мала. Так, например, из рис. 7.7 видно, что пик процесса второго порядка можно оценить с малой степенью искажения при Однако изображенная на рис. 7.8 для этого выборочная оценка спектра, сосчитанная по членам, дает очень плохую картину пика.

С другой стороны, как мы видим из рис. 7.9, выборочная оценка спектра, сосчитанная по членам, показывает, что можно с разумной точностью оценить спектр при Это было предсказано теорией, развитой в разд. 6.3, и объясняется тем, что малая дисперсия, т. е. высокая устойчивость, получается при больших отношениях Следовательно, для хорошего спектрального

анализа М должно быть достаточно велико, чтобы обеспечить малую степень искажения, и также должно быть большим, чтобы обеспечить высокую устойчивость. Эта идеальная ситуация приблизительно выполняется для выборочной оценки спектра процесса авторегрессии первого порядка на рис. 7.3. Однако во многих практических задачах приходится останавливаться на некотором компромиссе между малой степенью искажения и высокой устойчивостью. Вопрос о том, как практически выбрать такое компромиссное решение, обсуждается в следующем разделе.