9.3.2. Некоторые численные примеры взаимного спектрального анализа

Детали вычислений. В этом разделе приводятся численные примеры взаимного спектрального анализа искусственных двумерных временных рядов с известными спектрами. Мы сравним теоретические спектры и сглаженные выборочные оценки спектра когерентности (9.3.12) и фазового спектра (9.3.11). Влияние ширины полосы частот окна на дисперсию сглаженных выборочных оценок мы проследим, сравнивая теоретические спектры с выборочными оценками, сосчитанными по реализациям двумерных временных рядов. Во всех численных примерах этого раздела для сглаживания используется окно Тыоки.

Аналогичным образом мы исследуем смещение, вычисляя средний сглаженный коспектр и квадратурный спектр

а также средние сглаженные автоспектры Из них получаются средний сглаженный фазовый спектр и спектр когерентности по формулам

Кроме того, вычисляются сглаженные выборочные взаимные спектральные оценки по формулам (9.3.8) -(9.3.12).

Два независимых процесса авторегрессии первого порядка. Первыми процессами, которые мы рассмотрим, являляются два независимых процесса авторегрессии первого порядка с Взаимную корреляционную функцию этих процессов мы оценивали в разд. 8.2.1. Теоретический и средний сглаженный спектры когерентности этого двумерного процесса тождественно раины нулю, а теоретический фазовый спектр не определен. Поэтому мы не будем сравнивать теоретический и средние сглаженные спектры. Основная цель этого примера — сравнить теоретический спектр когерентности, который тождественно равен пулю, с выборочными оценками когерентности для реализаций двух рядов по 100 членов в каждой. На рис. 9.4 показаны сглаженные выборочные оценки спектра когерентности при .

Рис. 9.4 демонстрирует очень отчетливо влияние стягивания окна на сглаженную выборочную оценку когерентности, теоретическое значение которой в этом примере равно нулю. При и 8 выборочные спектры достаточно плавны и близки к нулю, но с ростом (и, следовательно, с уменьшением полосы частот окна) появляются очень большие значения когерентности. В разд. 9.1.3 это частично объясняется тем. что дисперсия оценки увеличивается с уменьшением полосы частот окна. Кроме того, как показано

(кликните для просмотра скана)

в разд. 9.1.2, при уменьшении полосы частот окна сглаженный спектр когерентности стремится к 1 на всех частотах, так как выборочная оценка спектра когерентности по несглаженным данным тождественно равна 1 на всех частотах.

Рис. 9.6. Средние сглаженные спектры когерентности двумерного процесса авторегрессии (8.1.20).

На рис. 9.5 доказана сглаженная выборочная оценка квадрата когерентности для исходных и профильтрованных рядов (способ фильтрации описан в разд. 8.2.2). Мы видим, что фильтрация лишь незначительно улучшила выборочную оценку когерентности. Этот вывод следует сравнить с полученным в разд. 8.2.2 выводом о том, что фильтрация может привести к существенному улучшению выборочных оценок взаимной корреляционной функции. Это отличие выборочной оценки спектра когерентности будет объяснено в разд. 9.3.3.

Двумерный процесс авторегрессии. Второй из рассматриваемых нами процессов — двумерный процесс авторегрессии (8.1.20):

где — независимые белые шумы.

Рис. 9.7. Средние сглаженные фазовые спектры двумерного процесса авторегрессии (8.1.20).

Теоретические спектр когерентности и фазовый спектр даются формулами (8.4.19) и (8.4.20) соответственно. Квадрат теоретического спектра когерентности изображен на рис. 9.6 вместе со средними сглаженными спектрами когерентности при и 16. Видно, что при и 8 имеется значительное смещение, причем пик смещен при приблизительно на 0,1 гц, а при на 0,05 гц. При наблюдается хорошее согласие между и а при теоретический и сглаженный спектры уже почти неразличимы. Следовательно, для этого процесса оценка спектра когерентности имела бы достаточно малое смещение при

На рис. 9.7 показаны теоретический и средние сглаженные фазовые спектры процесса (8.1.20) при и 16. Превосходное согласие между получается при а при средний сглаженный фазовый спектр уже неотличим от теоретическое. Поэтому для оценки фазового спектра потребовалось бы еще меньшее значение чем для оценки спектра когерентности.

В табл. приведены значения выборочных авто- и взаимной корреляционных функций, сосчитанные по реализации процесса (8.1.20) из членов. Эти функции показаны на рис. 9.8.

Исходные значения для этих рядов взяты из табл. На рис. 9.9 изображены теоретический спектр когерентности и его выборочные оценки, сосчитанные по этим корреляционным функциям.

Рис. 9.8. Выборочные авто- и взаимные корреляции двумерного процесса авторегрессии ).

Выборочная оценка при значительно отклоняется от теоретического спектра, так же как и соответствующий средний сглаженный спектр на рис. 9.6.

Вдвое большее значение приводит к заметному изменению выборочной оценки однако дальнейшее увеличение до 16 уже не дает существенных изменений. Поэтому в данном случае при использовании метода стягивания окна, описанного в разд. 7.2.4, можно было бы остановиться на выборочной оценке, соответствующей значению или, возможно, даже Отметим, что при наблюдается весьма хорошее согласие между Однако дальнейшее увеличение до -32 приводит к сильным осцилляциям

Теоретический фазовый спектр и его сглаженные выборочные оценки изображены на рис. 9.10 при и 16. Метод стягивания окна показывает, что при изменения фазы незначительны, а при в выборочной оценке появляются ложные пики. Поэтому можно было бы, по-видимому, взять выборочную оценку при L = 8.

Рис. 9.9. Сглаженные выборочные оценки спектра когерентности двумерного процесса авторегресии

Из рис. 9.7 мы видим, что при этом наблюдается хорошее согласие теоретического и среднего сглаженного фазовых спектров в диапазоне от 0 до 0,4 гц. Для частот, больших 0,4 гц, кривая выборочных оценок уходит вниз, в то время как теоретический спектр идет вверх. Из рис. 9.9 видно, что частота гц соответствует точке, где когерентность снижается до малой величины. Взяв для этой области частот среднее значение квадрата коэффициента когерентности 0,1, находим из рис. 9.3, что 95%-ный доверительный интервал для фазы при равен приблизительно .

Шум, пропущенный через линейную систему с задержкой. Третьим из рассматриваемых нами процессов является процесс (8.1.22), где — выход линейной системы первого порядка с задержкой на 10 единиц времени

В качестве входного процесса берется процесс авторегрессии первого порядка

Шум является процессом авторегрессии первого порядка

— два независимых белых шума. Теоретические корреляционные функции этого процесса приведены в разд. 8.1.4.

Рис. 9.10. Сглаженные выборочные оценки фазового спектра двумерного процесса авторегрессии (8.1.20) .

Теоретические спектры когерентности и фазы, полученные с помощью методов, изложенных в разд. 8.4.3, имеют вид

(кликните для просмотра скана)

Теоретический и средние сглаженные фазовые спектры этого линейного процесса показаны на рис. 9.11. Мы видим, что хорошие оценки фазы можно получить, лишь когда или по крайней мере

Теоретический спектр когерентности построен на рис. 9.12 вместе со средними сглаженными спектрами когерентности при . Видно, что эти средние сглаженные спектры заметно отличаются от теоретического даже при и что это отличие нельзя приписать недостаточной гладкости теоретического спектра. Причина в том, что смещепие появляется из-за большой задержки между входом и выходом, как было предсказано в разд. 9.2.1.

При средний сглаженный спектр когерентности приблизительно равен нулю, как можно было бы предвидеть, поскольку задержка между двумя рядами превосходит максимальное запаздывание ковариаций.

Рис. 9.13. Выборочные авто- и взаимные корреляции линейного процесса (8.1.22)

Следовательно, в этом случае смещение равно самой функции

Из теоретических рассмотрений ясно, что немногое можно узнать из спектрального анализа реализации этого процесса, содержащей около 100 членов, если только не проводить этот анализ очень тщательно. Чтобы проиллюстрировать этот вывод, мы сосчитали авто- и взаимные корреляции по реализации, состоящей из членов. Они приведены в табл. П9.2 и изображены на рис. 9.13. Исходные данные для этого примера взяты из табл. На рис. 9.14 показаны выборочные оценки спектра когерентности, сосчитанные по реализации из членов при

(кликните для просмотра скана)

Видно, что они не сходятся к какой-либо функции и что при выборочная оценка начинает резко «скакать». Поэтому нельзя получить никаких удовлетворительных выводов относительно выборочных оценок когерентности. Выборочные оценки фазового спектра показаны на рис. 9.15 при . Видно, что они очень плохи, когда меньше или сравнимо с величиной задержки Но когда становится больше 10, выборочные оценки быстро улучшаются, и при наблюдается превосходное согласие с теоретическим фазовым спектром.

Примеры этого раздела иллюстрируют то общее положение, что хорошие выборочные оценки фазового спектра можно получить и в тех случаях, когда спектр когерентности оценивается плохо. В следующем разделе мы покажем, что обычне можно значительно улучшить выборочные оценки спектров когерентности и фазы с помощью выравнивания двух рядов.