8.2.2. Улучшение оценки взаимной корреляционной функции

Чтобы понять, как можно улучшить оценку взаимной корреляционной функции, рассмотрим следующую модель двух взаимно коррелированных процессов авторегрессии первого порядка:

Предположим, что ковариация равна нулю для отличных от нуля. Тогда, считая, что имеют двумерное нормальное распределение, получаем с помощью формулы (3.1.17) логарифмическую функцию правдоподобия для параметров

где

Дифференцируя по всем трем параметрам и приравнивая производные нулю, находим из полученных уравнений выборочную оценку максимального правдоподобия для

где — выборочные оценки максимального правдоподобия для он, Наглядный смысл этой оценки ясен:

Если нужен критерий корреляции двух временных рядов, то следует сначала отфильтровать эти ряды так, чтобы превратить их в белые шумы, а затем сосчитать взаимную ковариационную функцию.

Для двух независимых процессов из примера разд. 8.2.1 параметры оценивались с помощью выборочных оценок максимального правдоподобия (5.4.5). Например,

Затем производилась фильтрация двух рядов по формулам

и, наконец, вычислялась выборочная взаимная корреляционная функция отфильтрованных рядов по формуле (8.2.12). Эта функция изображена сплошной линией на рис. 8.7, где видно, что ее значения гораздо меньше, чем до фильтрации. Поскольку отфильтрованные ряды являются белыми шумами, то по формуле (8.2.9) стандартное отклонение выборочной оценки взаимной корреляции равно Отсюда -ные доверительные интервалы можно получить, если отложить от наблюденных значений ±0,2. Мы видим, что только один из этих интервалов не включает нуля. Если бы два процесса были некоррелированы, то следовало ожидать, что из 30 доверительных интервалов с уровнем доверия в среднем два интервала не будут содержать

нуля. Поэтому наблюденная взаимная корреляционная функция не противоречит гипотезе о том, что эти два процесса некоррелированы.