7.2. ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА СГЛАЖИВАНИЯ

В разд. 7.2.1 обсуждаются различные теоретические попытки получить оптимальные методы сглаживания. Мы приходим к заключению, что эти теоретические решения неудовлетворительны и

что для спектрального оценивания требуется более эмпирический подход. Основными требованиями при оценивании спектров являются высокая устойчивость и малая степень искажения. Эти требования кратко обсуждаются в разд. 7.2.2. Для того чтобы им удовлетворить, в разд. 7.2.3 вводится эмпирический подход к оцениванию спектров. Этот подход назван стягиванием окна, он подробно обсуждается в разд. 7.2.4. В последнем разделе рассматривается вопрос о формировании окон, т. е. о выборе формы спектральных окон.

7.2.1. Оптимальное сглаживание спектральных оценок

Было сделано несколько попыток определить сглаженные спектральные оценки, которые были бы оптимальны в некотором смысле. Идея такого подхода состоит в выборе такого корреляционного окна на интервале которое минимизировало бы некоторую величину, характеризующую погрешность оценки. Обычно еще накладывают практическое ограничение при для того чтобы вычислять ковариации лишь до запаздывания М. Так как большая часть времени при вычислениях уходит на подсчет ковариаций, то представляется разумным выбирать М малым по сравнению с длиной записи Т. Один критерий оптимальности корреляционного окна, упоминавшийся в разд. 6.3.5, заключается в минимизации среднеквадратичной ошибки

Этот критерий был предложен в [3]. Одно из возражений против такого подхода состоит в том, что хорошая для одной частоты оценка может оказаться плохой для другой частоты, и, следовательно, нужно принимать компромиссное решение, которое было бы наилучшим в некотором смысле для всех частот.

Критерий оптимальности, охватывающий все частоты, предложен в [4]. Он заключается в минимизации интеграла от среднеквадратичной ошибки

Корреляционное окно, дающее минимум интегралу (7.2.2), имеет вид

Отметим, что это окно не приводит к отсечению ковариационной функции. Как уже упоминалось, основная цель, которую

преследуют, вводя отсечение, состоит в сокращении вычислений ковариаций. Специалисты по теории связи и по теории управления узнают в выражении (7.2.3) для оптимального корреляционного окна точный аналог выражения для частотной характеристики фильтра, дающего минимальную среднеквадратичную ошибку. Пользуясь терминологией теории связи, можно проинтерпретировать (7.2.2) следующим образом. соответствует полезному сигналу, а сумме сигнала и шума. Точно так же в соответствует частотной характеристике оптимального фильтра, спектру сигнала, спектру шума.

Другой критерий, предложенный в [5] и также представляющий собой "попытку получить оценку, пригодную для всех частот, состоит в минимизации математического ожидания максимума по частоте от среднеквадратичной ошибки

Можно было бы еще предложить критерий минимума интеграла

Последний критерий отличается от (7.2.2) тем, что математическое ожидание среднеквадратичной ошибки на данной частоте суммируется при интегрировании с весом, обратно пропорциональным величине теоретического спектра на этой частоте. Таким образом, минимизируется интеграл относительной среднеквадратичной ошибки, и очевидное преимущество такой процедуры перед (7.2.2) состоит в том, что оценка образуется с весом, обратно пропорциональным дисперсии ошибки.

Ниже мы покажем, что значение приведенных здесь критериев в спектральном анализе невелико. Единственная цель, для которой можно ими воспользоваться, состоит в том, что они дают возможность сравнить спектральные окна Бартлетта, Тьюки, Парзена и другие по этим критериям. Например, прямоугольное окно из табл. 6.5 является плохим по всем этим критериям, и поэтому его можно отбросить. Остальные окна из табл. 6.5 имеют сходные показатели по этим критериям, и, следовательно, можно считать, что форма этих окон является, вообще говоря, «хорошей». Однако при решении вопроса о выборе подходящей формы окна могут играть роль и другие факторы, например количество мощности, утекающей в боковые лепестки. Так, из рис. 7.10 видно, что окно Бартлетта хуже окон Тьюки и Парзена, поскольку барлеттское окно дает большие ложные осцилляции в среднем сглаженном спектре.

Критические замечания относительно использования критериев оптимальности при сглаживании.

1. Критерии оптимальности произвольны. Поэтому для любого критерия соответствующее ему оптимальное спектральное окно будет наилучшим лишь с некоторой произвольно принятой точки зрения.

2. Критерии оптимальности представляют собой не слишком гибкую математическую формулировку требований спектрального анализа. Например, физика или инженера могут интересовать некоторые характерные черты спектра, такие, как ширина пика или наклон спектра в некотором диапазоне частот, в то время как эти критерии не предназначены для таких характеристик. Поэтому, как будет показано в разд. 7.2.2, необходима более подходящая и гибкая формулировка требований спектрального анализа, которую мы и изложим в этом разделе.

3. Оптимальное в любом смысле корреляционное окно, например (7.2.3), будет зависеть от неизвестного спектра Этот недостаток свойствен не только спектральному анализу. Вообще говоря, справедливо правило, согласно которому наилучший план действий должен опираться на некоторые представления об истинном положении вещей. Следовательно, очень важно проводить четкое различие между планированием спектрального анализа до сбора данных и самим анализом данных, после того как они собраны. Мы хотели бы использовать критерий минимума среднеквадратичной ошибки или какой-нибудь аналогичный критерий до проведения спектрального анализа, чтобы решить, например, какой длины нужно взять запись. Но после того как данные собраны, могло бы оказаться, что наши представления относительно были абсолютно неправильны.

Чтобы избежать этого, любой практический метод спектрального анализа должен предусматривать самостоятельный план действий и не зависеть решающим образом от каких-либо существенных предположений относительно Другими словами, данные должны говорить сами за себя.

4. Если бы даже существовали ситуации, когда имелась бы точная информация о подход, использующий критерий оптимальности, указывает лишь, какой способ действия является наилучшим в среднем. Так, оптимальное корреляционное окно (7.2.3) будет наилучшим лишь в среднем [если при этом пользоваться критерием (7.2.2)]. Однако оно, возможно, окажется очень плохим для некоторой конкретной реализации случайного процесса.

Например, один и тот же процесс может дать две реализации одинаковой длины, для которых потребуются совершенно различные значения ширины полосы частот окна, обеспечивающие хорошую выборочную оценку спектра.

Эти недостатки существенны, и поэтому требуется более гибкий и устойчивый подход к сглаживанию. Для того чтобы предложить подходящий эмпирический метод сглаживания, необходимо вновь обратиться к общим задачам спектрального анализа и сформулировать их в точном и пригодном для наших целей виде. Это делается в следующем разделе, где вводятся понятия степени искажения и устойчивости. Далее, в разд. 7.2.3 предлагается эмпирический способ сглаживания выборочных оценок.