10.4.3. Анализ данных о газовой печи

Описание данных. Изображенные на рис. 8.3 данные получены при наблюдении за работой газовой печи, вырабатывающей углекислый газ. Выходной переменной была концентрация углекислого

газа, измерявшаяся в процентах по отношению к выходу газа из печи. Эта концентрация зависит от двух входных переменных: скорости воздуха и скорости газа. В описываемых здесь экспериментах входная скорость воздуха была фиксирована, так что можно было определить частотную характеристику, связывающую входную скорость газа с выходной концентрацией.

Имелись непрерывные измерения как входного, так и выходного процессов. При просмотре непрерывных записей не было обнаружено сколько-нибудь заметных изменений на интервалах меньше 9—10 сек, поэтому отсчеты на записях были взяты через 9 сек.

Рис. 10.7. Выборочные взаимные корреляции исходных данных о газовой печи и их первых разностей

В результате получилось 296 пар точек, которые приведены в Приложении П10.1.

Оценивание функций усиления и фазы. Ниже приводится описание процесса оценивания, в котором использовались основные стадии, описанные в разд. 9.4.2 и 10.4.1.

1. Стадия предварительных решений

а) При проверке данных (рис. 8.3) не обнаружено каких-либо явных трендов. Тем не менее были сосчитаны авто- и взаимные корреляции как исходных данных, так и их первых разностей по формулам (9.3.13), (9.3.14).

б) Частота Найквиста, соответствующая интервалу отсчета сек, равнялась

в) Предварительно было решено вычислять корреляции до максимального запаздывания

2. Первая стадия вычислений

Авто-и взаимные корреляции были сосчитаны, нанесены на график и подвергнуты анализу. Взаимные корреляции исходных данных и их первых разностей изображены на рис. 10.7. Приближенные

значения ковариаций первых разностей приведены в Приложении П10.1.

3. Стадия промежуточных решений

а) Из графика взаимной корреляционной функции исходных данных видно, что имеется тренд. Поэтому бьшо решено использовать корреляции первых разностей.

б) Взаимная корреляционная функция первых разностей имеет максимум, когда сдвиг равен 5.

Рис. 10.8. Выборочная оценка функции усиления для данных о газовой печи

в) Принимая во внимание затухание этой взаимной корреляционной функции, для оценивания спектров были выбраны следующие значения точек отсечения: и 40.

4. Вторая стадия вычислений

После применения выравнивания со сдвигом были вычислены автоспектры, функции усиления и фазы и спектр шума для указанных выше точек отсечения. График функции усиления показан на рис. 10.8, фазовой функции — на рис. 10.9 и спектра шума — на рис. 10.10.

5. Стадия интерпретации

Метод стягивания окна показывает, что очень незначительные изменения этих спектров получаются при изменении от 30 до 40. На всех перечисленных рисунках изображены спектры, соответствующие значениям , и мы видим, что уменьшение

подосы частот окна вызывает небольшие изменения в диапазоне до 0,02 гц, но для больших частот возникают резкие колебания.

Интерпретация выборочной оценки функции усиления. График Бодэ на рис. 10.8 показывает, что наблюденным данным соответствует система второго порядка. Выборочные оценки постоянных времени, полученные при подгонке всевозможных систем второго порядка до тех пор, пока не было получено хорошего визуального согласия, оказались равными сек и сек.

Отметим, что 95%-ные доверительные интервалы резко возрастают для частот, превосходящих 0,025 гц, из-за уменьшения коэффициента когерентности. Выборочная оценка функции усиления на нулевой частоте равна 0,31. Следовательно, усиление постоянной составляющей в системе равно 0,31.

Рис. 10.9. Выборочные оценки фазовой функции для данных о газовой печи

Интерпретация выборочной оценки фазовой функции. Дискретная система второго порядка с постоянными времени сек и сек имеет следующую фазовую функцию:

Выборочная оценка фазовой функции при показанная на рис. 10.9, намного больше (10.4.13), что наводит на мысль о том, что в системе имеется время нечувствительности, или задержка. Разность между выборочной оценкой фазовой функции и (10.4.13) была нанесена на график, и к этой разности была подобрана приближающая ее прямая. Этой прямой при гц соответствовало значение поэтому была взята задержка сек. Полученная после учета этой задержки фазовая функция показана на рис. 10.9 пунктирной линией.

Таким образом, работу газовой печи можно описать с помощью системы второго порядка, имеющей усиление постоянной составляющей постоянные времени 6,7 и 13 сек и задержку 31 сек.

Интерпретация спектра шума. Поскольку мы использовали первые разности от исходных данных, шум для которого

производилось оценивание спектра, связан с исходным шумом соотношением Отсюда, пользуясь формулой (6.2.17), выборочную оценку спектра шума в исходных данных можно выразить через выборочную оценку спектра шума после взятия первых разностей

Рис. 10.10. Выборочные оценки спектра остаточных ошибок для данных о газовой печи

Спектр показан на рис. 10.10, откуда видно, что он похож на белый шум, пропущенный через данную систему.

Дальнейшие примеры оценивания частотных характеристик. Пример применения методов спектрального анализа взаимных спектров для оценивания частотной характеристики теплообменника приведен в [2]. Ряд интересных применений такого рода описан также в сборнике статей [3].

Общий вывод состоит в том, что спектральные методы часто очень полезны при выдвижении динамических моделей, описывающих физические системы, как это было в примере с газовой печью. Однако, поскольку при спектральном анализе для каждой частоты нужно оценивать свои параметры, эффективность этих методов

невелика. Более убедительные результаты обычно можно получить с помощью параметризации задачи, рассматривая модели типа (10.1.3).

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)