11.4. МНОГОМЕРНЫЙ АНАЛИЗ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ

В этом разделе мы обобщим методы разд. 11.3 таким образом, что их можно будет применять в частотной области. Имеются два основных отличия моделей, используемых в этом разделе, от моделей разд. 11.3. Во-первых, модели разд. 11.3 описывали регрессии и корреляции в одинаковые моменты времени, так что они фактически описывали лишь свойства установившихся значений системы, В этом разделе мы рассмотрим динамические модели, являющиеся обобщением моделей предыдущего раздела. Во-вторых, в разд. 11.3 предполагалось, что шум (остаточные ошибки) является белым. В настоящем же разделе шум может быть совершенно произвольным стационарным процессом.

11.4.1. Анализ многомерных частотных характеристик, единственный выходной процесс

В этом разделе мы покажем, как можно оценить частотные характеристики модели

которая является динамическим обобщением модели установившихся состояний (11.3.1). Для того чтобы не усложнять изложение основных идей анализа, мы предположим, что имеются записи бесконечной длины единственного выходного процесса и входных процессов. Чтобы еще более упростить задачу, рассмотрим частный случай, когда число входов равно 2.

Действуя так же, как и в Приложении П5.1, можно показать, что выборочные оценки функций отклика на единичный импульс дающие минимальную среднеквадратичную ошибку, должны удовлетворять системе уравнений Винера — Хопфа

Заметим, что уравнения (11.4.2) можно получить также, умножая все члены равенства (11.4.1) сначала на и беря

математическое ожидание, а затем на и также беря математическое ожидание.

Взяв от (11.4.2) преобразование Фурье, получим уравнения в частотной области

Решая эти уравнения относительно получаем следующие выражения для частотных характеристик, включающие авто- и взаимные спектры:

Чтобы получить выражения для функций усиления и фазы, нужно взять модули и аргументы комплексных функций (11.4.4). Например,

где

Для входов уравнения (11.4.2) имеют вид

где — имеющая порядок матричная ковариационная

функция одного выхода и входов, , а — матричная ковариационная функция входов. Взяв преобразование Фурье от (11.4.7), получаем

где — вектор взаимных спектров выхода и входов, - спектральная матрица входов

Решая эти уравнения и беря модули и аргументы решений, как это делалось выше, можно найти функции усиления и фазы.