8.4. ВЗАИМНЫЕ СПЕКТРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

8.4.1. Простые примеры взаимных спектров

Прежде чем выводить формулу для взаимного спектра произвольного линейного процесса (8.1.14), полезно рассмотреть некоторые простые примеры взаимных спектров. На этих примерах мы покажем, какая информация содержится во взаимном спектре, для чего выведем формулы взаимных спектров некоторых простых дискретных процессов. Для дискретного процесса взаимный спектр определяется равенством

В приводимых ниже примерах мы будем предполагать, что

Пример 1. Предположим что

где — взаимно некоррелированные белые шумы. Мы имеем

и из (8.3.22) получаем

Отсюда видно, что взаимный амплитудный спектр тождественно равен нулю и, следовательно, коспектр и квадратурный спектр тоже тождественно равны нулю. Фазовый спектр неопределен.

Пример 2 (двумерный эквивалент белого шума). Предположим, что

так что

Отсюда

Из (8.4.1) получаем

откуда следует, что

Следовательно, если два процесса взаимно коррелированы только в одинаковые моменты времени, то взаимный амплитудный спектр равен константе, подобно спектру белого шума. Далее, эти два процесса находятся в фазе, поскольку Взаимный амплитудный и фазовый спектры для этого примера показаны на рис. 8.8, а. Таким образом, процесс (8.4.2) можно рассматривать как фундаментальную модель взаимного спектра, аналогично тому как белый шум можно считать фундаментальным при изучении одномерного спектра.

Пример 3 (влияние задержки). Предположим, что

так что

т. e. эти два ряда сдвинуты по отношению друг к другу на временной интервал Отсюда

Поэтому из (8.4.1) получаем

Снова взаимный амплитудный спектр равен константе, но фазовый спектр теперь представляет собой линейную функцию частоты, как показано на рис. 8.8, б. Это означает, что косинусоидальная волна частоты гц совершает колебаний за время задержки и, следовательно, фазовое запаздывание составляет рад.

Пример 4. Более интересную модель мы получим, если положим

что можно переписать в виде

Отсюда, как показано во втором примере из разд. 8.1.3, следует, что

Поэтому

Приведенная формула для взаимного амплитудного спектра показывает, что ковариация двух процессов больше на низких частотах при и на высоких при Следовательно, взаимные корреляции, не меняющие знак, соответствуют низкочастотным взаимным амплитудным спектрам, а осциллирующие взаимные корреляции — высокочастотным. Соответствующие фазовые спектры показаны на рис. 8.8, в и рис. видим, что при процесс опережает по фазе процесс а при наоборот, отстает от него.

Используя более сложные модели, можно получить множество разнообразных взаимных амплитудных и фазовых спектров. Важное положение, которое необходимо сейчас подчеркнуть, заключается в том, что изучение взаимных амплитудных спектров двух эмпирических временных рядов может привести к заключению, что требуются разные модели для различных частотных диапазонов. Например, фазовый спектр, образованный двумя прямыми с разными наклонами, мог бы навести на мысль, что один ряд запаздывает по отношению к другому, но эта задержка во времени различна для разных частотных диапазонов.

Отсюда видно, что выборочные взаимные спектры эмпирических временных рядов могут служить очень гибким средством при выборе моделей, описывающих поведение этих рядов.

Рис. 8.8. (см. скан) Взаимные амплитудные и фазовые спектры некоторых простых двумерных процессов.

В тех случаях, когда есть подозрение, что в разных частотных диапазонах действуют разные модели, дальнейший анализ будет более эффективным, если, как отмечалось в разд. 7.3.5, сначала расфильтровать исходные ряды на компоненты с помощью набора полосовых фильтров, а затем вычислить взаимные спектры соответствующих компонент.