8.4.5. Линейные операции над двумерными временными рядами

В разд. 9.4.2 мы увидим, что, перед тем как проводить взаимный спектральный анализ, необходимо отфильтровать временные ряды. В настоящем разделе мы исследуем влияние такой предварительной фильтрации на спектр когерентности и на фазовый спектр.

Предположим, что процессы подвергаются фильтрации, в результате которой они переходят в процессы

Действуя так же, как и в разд. 5.2.2, получаем взаимную ковариационную функцию профильтрованных процессов

Взяв преобразование Фурье от (8.4.22), получим взаимный спектр

Так как

то спектр когерентности профильтрованного двумерного ряда равен

Следовательно, после фильтрации спектр когерентности остался тем же самым.

Из (8.3.27) и (2.3.17) получаем

и

Таким образом, фазовый спектр изменяется на величину

Заметим, однако, что если то и фазовый спектр не меняется в результате фильтрации. Следовательно, если оба входных процесса подвергаются одинаковой фильтрации, то взаимный амплитудный спектр умножается на а спектр когерентности и фазовый спектр остаются неизменными. Остаточный спектр (гл. 10) для отфильтрованных данных изменится при фильтрации так же, как и автоспектр т. е. остаточный спектр для отфильтрованных данных будет равен остаточному спектру для исходных данных, умноженному на