8.3.2. Соотношение между выборочным взаимным спектром и выборочной взаимной ковариационной функцией

В гл. 6 было показано, что выборочная автоковариационная функция и выборочный спектр связаны между собой преобразованием Фурье (6.1.9). В этом разделе мы обобщим формулу (6.1.9) и покажем, что выборочная взаимная ковариационная функция и выборочный взаимный спектр точно так же образуют пару преобразований Фурье.

Из определения (8.3.3) выборочного взаимного спектра имеем

Заменяя переменные интегрирования и действуя дальше так же, как в разд. 6.1.3, мы получаем

Таким образом, выборочный взаимный спектр является преобразованием Фурье от выборочной взаимной ковариационной функции, определяемой соотношениями

Обратным по отношению к преобразованию (8.3.12) является преобразование

Подставляя (8.3.11) в (8.3.14), получаем важное равенство

при выводе которого мы воспользовались тем, что -четная функция, — нечетная функция частоты. Наконец, полагая в получаем

Следовательно, выборочный коспектр дает разложение по частоте выборочной взаимной ковариации при нулевом запаздывании аналогично тому, как выборочный спектр (6.1.11) дает разложение выборочной дисперсии по частоте.

Запишем теперь (8.3.15) в виде

где

Нетрудно проверить, что - это четная часть функции т. е.

Аналогично, — нечетная часть т. е.