Глава 9. ОЦЕНИВАНИЕ ВЗАИМНЫХ СПЕКТРОВ

В разд. 9.1 показано, что выборочный взаимный спектр обладает тем же нежелательным свойством, что и выборочный автоспектр: его дисперсия не зависит от длины записи. Однако из него можно получить выборочную коспектральную функцию и выборочный фазовый спектр и построить с их помощью частотный критерий корреляции двух временных рядов.

В разд. 9.2 выводятся выражения для дисперсий и ковариаций сглаженных коспектров и квадратурных спектров, а также для сглаженных спектров когерентности и фазовых спектров. Показано, что эти дисперсии и ковариации зависят как от неизвестного теоретического спектра когерентности, так и от способа сглаживания, влияние которого можно учесть.

В разд. 9.3 приводятся некоторые численные примеры оценивания взаимных спектров, в которых показано, что если максимум взаимной корреляционной функции сдвинут относительно нуля, то получаются очень большие смещения. Теоретический анализ этих смещений показывает, что их можно минимизировать с помощью взаимного сдвига, или выравнивания, рядов, в результате которого взаимная корреляционная функция достигает максимума в нуле. В разд. 9.4 описана практическая методика оценивания взаимных спектров и приведен пример.

9.1. СВОЙСТВА ВЫБОРОЧНОГО ВЗАИМНОГО СПЕКТРА

9.1.1. Моменты выборочного взаимного спектра для двух некоррелированных белых шумов

В этом разделе мы выведем выражения для средних значений, дисперсий и ковариаций оценок, соответствующих выборочным коспектрам, квадратурным спектрам, а также выборочным фазовым и взаимным амплитудным спектрам, предполагая, что два рассматриваемых процесса являются некоррелированными белыми шумами. Эти выражения окажутся полезными в двух случаях. В разд. 9.1.2 мы используем их при выводе критерия корреляции двух временных рядов, а в разд. 9.1.3 и 9.2.1 — при выводе моментов оценок, соответствующих обычным и сглаженным выборочным

взаимным спектрам, при довольно общих предположениях относительно случайных процессов

Как и раньше, процессы белого шума мы обозначим через Предполагается, что они имеют нулевые средние значения. Преобразования Фурье отрезков этих процессов обозначим через

где — синус- и косинус-преобразования Опуская аргумент в этих преобразованиях, можно записать случайные функции, соответствующие авто- и взаимным спектрам, в виде

Отсюда случайные функции, соответствующие коспектрам и квадратурным спектрам, имеют вид

Далее, если — гауссовские процессы, то, как было показано в разд. являются гауссовскими случайными величинами. Было показано также, что если процессы имеют нулевые средние значения, то

и для гармонических частот имеют место равенства

Если, кроме того, процессы некоррелированы, то

Моменты выборочного коспектра и квадратурного спектра. С помощью этих формул можно вывести моменты выборочного

коспектра и квадратурного спектра. Например, с помощью (9.1.3) и (9.1.7) получаем

а с помощью (9.1.6) —

Аналогично,

Можно показать, что некоррелировапы с Поэтому ковариационная матрица оценок будет иметь вид

Распределение оценок, соответствующих выборочному взаимному амплитудному спектру. Случайная оценка, соответствующая выборочному взаимному амплитудному спектру, по определению равна так что ее квадрат, используя (9.1.1), можно записать в виде

Удобнее сейчас ввести случайную величину

Используя независимость процессов и тот факт, что с точностью до множителя имеет -распределение (разд. 6.3.3), получаем, что случайная величина равна произведению двух независимых величин , имеющих

-распределение с двумя степенями свободы. Отсюда с помощью (3.3.6) получаем

Следовательно,

и

Отметим, что, в то время как дисперсия выборочного спектра равна квадрату его среднего значения, дисперсия выборочного взаимного амплитудного спектра равна утроенному квадрату своего среднего значения. Это увеличение дисперсии произошло из-за того, что при оценке амплитудного спектра изменчивость создается двумя процессами, а не одним.

Распределение оценки, соответствующей выборочному фазовому спектру. Из (9.1.3) и (9.1.4) получаем случайную оценку, соответствующую выборочному фазовому спектру:

Рассмотрим теперь случайную величину Случайные величины распределены по нормальному закону, так что область изменения величины простирается от до , следовательно, ее естественно аппроксимировать с помощью нормального распределения. Аналогичные соображения применимы и к случайной величине Таким образом, можно считать, что распределены приблизительно нормально, независимо друг от друга и с одинаковой дисперсией. Отсюда имеет приблизительно равномерное распределение на интервале Мы воспользуемся этим фактом в следующем разделе при выводе критерия корреляции двух временных рядов.