8.2. ОЦЕНИВАНИЕ ВЗАИМНОЙ КОВАРИАЦИОННОЙ ФУНКЦИИ
8.2.1. Выборочная взаимная ковариационная функция
В разд. 5.3.1. было показано, что разумной оценкой взаимной ковариационной функции при условии, что средние значения процессов равны нулю, является функция
Как и при оценивании автоковариаций, делить на Т предпочтительнее, чем на 
поскольку в первом случае оценка имеет меньшую среднеквадратичную ошибку.
Беря математическое ожидание от обеих частей (8.2.1), получаем
откуда видно, что 
является смещенной оценкой 
и смещение стремится к нулю лишь при 
Если средние значения процессов могут быть отличны от нуля, то нужно рассмотреть оценку
где
В этом случае вычисления, аналогичные приведенным в разд. 5.3.3, показывают, что
Следовательно, из-за введения поправки на среднее значение смещение увеличилось на величину порядка 
Выборочная взаимная ковариационная функция имеет те же самые недостатки, что и выборочная автоковариационная функция, и, в частности, ее соседние значения сильно коррелированы. В Приложении П9.1 показано, что ковариация оценок 
для двух различных запаздываний 
дается формулой Бартлетта
где
— совместный кумулянт случайных величин 
При больших 
для (8.2.3) можно дать следующее приближенное выражение, которое аналогично выражению (5.3.22):
В дискретном случае это приближение имеет вид 
Влияние автокорреляции на взаимную корреляцию двух временных рядов. Интересный случай формулы (8.2.4) получается, когда 
для всех и, т. е. когда два процесса некоррелированы. Тогда если пренебречь членом, содержащим кумулянт (который отличен от нуля лишь для негауссовских процессов), то (8.2.4) перейдет в
Аналогично для двух некоррелированных дискретных процессов формула (8.2.5) переходит в
Если 
— процессы авторегрессии первого псрядка с параметрами 
соответственно, то
и, подставляя эти выражения в (8.2.7) для случая 
получаем
Для белого шума соответствующая формула имеет вид
Следовательно, если 
положительно, то дисперсия (8.2.8) оценки взаимной ковариации увеличена по сравнению с дисперсией (8.2.9) для случая белого шума. Если же отрицательно, то (8.2.8) меньше, чем (8.2.9). Обычно 
бывает положительно, т. е. два процесса или оба имеют положительные автоковариации, или же оба — отрицательные. В таком случае из равенства (8.2.8) следует, что могут получиться очень большие выборочные взаимные ковариации (ложные!) между двумя некоррелированными процессами из-за больших значений автоковариаций внутри каждого из процессов.
Пример. Чтобы проиллюстрировать этот эффект, мы вычислили выборочную взаимную корреляционную функцию 
для реализаций двух независимых процессов авторегрессии первого порядка с параметрами 
при 
Эта выборочная оценка получена при использовании дискретного выборочного аналога функции (8.2.2), а именно
где
и
Выборочная оценка взаимной корреляции ноказана на рис. 8.7 пунктирной линией. Мы видим, что 
достигает значений ±0,3, в то время как теоретическая корреляционная функция, конечно, равна нулю.
Рис. 8.7. Выборочные взаимные корреляции двух процессов авторегрессии первого порядка до и после фильтрации.
