ПРИЛОЖЕНИЕ П9.1. КОВАРИАЦИЯ ОЦЕНОК КОВАРИАЦИОННОЙ ФУНКЦИИ

В этом приложении выводится формула для ковариации оценок ковариационной функции (8.2.3). Оценки ковариационной функции можно записать в симметричном виде

Предполагается, что случайные процессы , имеют следующие свойства:

и

где четвертый совместный кумулянт. Взаимный спектр процессов определяется соотношениями

Вывод формулы для ковариации. Из (П9.1.1) и (П9.1.4) ковариация оценок равна

Замена переменных преобразует область интегрирования из прямоугольника в параллелограмм, как показано на рис. 5.11. Этот параллелограмм можно разделить на 3 области интегрирования, которые будем обозначать (1), (2) и (3). В результате формулу в случае можно переписать в виде

где

Интегрирование по и приведение подобных членов дают следующее выражение:

где

При в формуле нужно положить

Упрощение формулы. Оценим теперь, какой вклад в выражение дает член с четвертым кумулянтом Если процессы гауссовские, то и полученное ниже приближенное выражение является точным. Для негауссовских случайных

процессов, которые являются линейными и представляются в виде (5.2.6), (5.2.7), вклад кумулянтного члена равен интегралу

С помощью (5.2.15) можно показать, что этот интеграл имеет порядок Следовательно, вкладом этого члена в выражение можно пренебречь. Для больших Т членами порядка также можно пренебречь, и сводится к

Если в положить и сделать замену то получится формула Бартлетта (5.3.22). В частности, при из этой формулы получаем

Ковариация спектральных оценок. Формулу для ковариации спектральных оценок можно получить из предыдущих формул следующим образом:

С целью упрощения мы выведем выражение в другом виде.

Другой вариант формулы для Из (П9.1.9) и (П9.1.6) получаем

Это выражение сводится к

где обозначает выражение в фигурных скобках из предыдущего равенства. Поскольку

то, делая замену получаем

что и является другим вариантом выражения дающим точный результат в случае гауссовских процессов.

Если малы, а Т велико, то интегрирование по в (П9.2.2) дает

так как

Подставляя получаем

Меняя порядок интегрирования, собирая одинаковые члены и производя некоторые упрощения, мы получаем

Упрощение формулы. Формула является точной для гауссовских процессов. Ее можно упростить, если спектры процессов приближенно равны константе в диапазоне от до так как в этом случае члены можно вынести за знак интеграла. В результате для таких случайных процессов, которые имеют приблизительно постоянный спектр в диапазоне частот от до мы получаем

Равенство является точным для гауссовских белых шумов. В остальных случаях эта формула приближенная. Все полученные выше формулы применимы и в дискретном случае, если члены умножить на и проводить интегрирование по частоте от до Так, формула в дискретном случае переходит в

Если в положить то получим формулы (6.3.17) и (6.3.15) для белого шума и более общую формулу (6.4.9) для шума, не являющегося белым.

Формулы показывают, что при больших Т ковариация двух спектральных оценок имеет порядок во всех случаях, кроме Следовательно, с хорошей степенью приближения можно считать, что спектральные оценки, относящиеся к частотам, разнесенным больше чем на являются некоррелированными.

Обобщенная матрица ковариаций. Общие формулы можно использовать для вывода обобщенной матрицы ковариаций (9.1.22). Например, член можно получить следующим образом:

Следовательно,

Замена на (9.1.15) приводит к выражению

где мы использовали обозначения (9.1.13) и (9.1.14). Последнее выражение сводится к

Так как

то, пренебрегая членом с получим

«хи-квадрат»-свойства оценок автоспектров. Рассмотрим гауссовский процесс с нулевым средним значением и дисперсией Спектральная оценка имеет вид

где и -соответственно косинус- и синус-преобразования процесса Так как преобразование Фурье является линейной операцией, процессы также будут гауссовскими. Из мы видим, что есть сумма двух гауссовских случайных величин, возведенных в квадрат. Следовательно, имеет -распределение с двумя степенями свободы. Отсюда немедленно получаются результаты разд. 6.3.3.

Для негауссовских процессов преобразования представляют собой взвешенные суммы зависящих от времени случайных величин Поэтому вышеупомянутые формулы будут приближенно верны и для негауссовских процессов.

Ковариация сглаженных спектральных оценок. Сглаженная спектральная оценка получается из с помощью равенства

где - спектральное окно, соответствующее корреляционному окну Отсюда

Ковариацию сглаженных спектральных оценок можно получить следующим образом. Так как

то

Отсюда с помощью получаем

Далее, при . Следовательно, для можно воспользоваться приближением . В результате получим

Изменение порядка интегрирования дает

Если предположить, что функции Г изменяются незначительно при изменении частоты в интервале, равном ширине полосы частот окна, то их можно вынести из-под знака интеграла. В результате переходит в

Следовательно, если спектральные окна достаточно узки и перекрываются незначительно, то ковариация сглаженных оценок очень мала. При дает

Поскольку перекрытие окон незначительно, первым членом в правой части можно пренебречь. В результате, применяя

теорему Парсеваля, получим

Формулой можно воспользоваться для вывода обобщенной матрицы ковариаций сглаженных спектральных оценок. Как отмечалось в разд. 9.2.1, эта матрица совпадает с матрицей (9.1.22), за исключением того, что множитель надо заменить на где