10.3.2. Применение метода наименьших квадратов в частотной области

В этом разделе показано, что задача оценивания частотной характеристики формально эквивалентна задаче оценивания регрессии методом наименьших квадратов, проводимого на каждой из частот. Показано также, что многие из формул метода наименьших квадратов, выведенные в разд. 4.3, можно без изменений перенести в частотную область.

В разд. 6.4.1 было доказано, что равенство (10.1.1) приближенно выполняется для двух конечных отрезков процессов если только отклик на единичный импульс убывает

практически до нуля за время, малое по сравнению с Т. Поэтому, если обозначить

то преобразование Фурье выражения (10.1.1) запишется в виде

Далее, (10.3.9) также можно записать в виде

и, следовательно,

Перекрестные члены исчезают, так как из (10.3.2) следует, что

Отметим, что представление (10.3.10) по форме аналогично разложению (4.3.10) остаточной суммы квадратов в обычном регрессионном анализе, проводимом методом наименьших квадратов. Из (10.3.9) получаем наилучшую выборочную оценку шума на частоте

Разделив (10.3.10) на Т, находим

Входящий в (10.3.11) выборочный спектр процесса, образованного остаточными ошибками, можно вычислить с помощью (10.3.9). В результате получим

где — выборочный спектр квадрата коэффициента когерентности. Но в разд. 9.1.2 было показано, что так что,

Из равенства (10.3.11) следует, что имеющиеся две степени свободы целиком затрачиваются на регрессионный член Таким образом, из-за того, что выборочным автоспектру и взаимному спектру соответствует узкое

спектральное окно, вся информация на каждой из частот полностью уходит на оценивание функций усиления и фазы и не остается никакой информации на оценивание спектра шума. Сейчас мы покажем, что это положение можно исправить с помощью сглаживания.