9.4.3. Пример практического оценивания взаимных спектров

В этом разделе мы применим методику, описанную в разд. 9.4.2, к данным, показанным на рис. 8.2. Анализ этих данных приведен в [6], и подробнее он будет описан в гл. 11. Сейчас мы укажем лишь, что используемые в этом анализе взаимных спектров величины представляют собой входные значения синфазного и сдвинутого по фазе токов турбогенератора. Нас интересуют спектр когерентности и фазовый спектр этих двух токов, поскольку они являются равноправными входными переменными. Эта информация понадобится нам в гл. 11, где она будет использована при анализе входных и выходных соотношений для определения частотных характеристик турбогенератора. Данные состоят из 4000 пар точек, отсчитанных через сек.

1. Стадия предварительных решений

а) При просмотре данных очевидных трендов не обнаружено. Однако, поскольку данные содержат такую скрытую низкочастотную компоненту, мы предвидели, что для анализа нужно будет использовать ковариации первых разностей.

б) Так как отсчет данных производился через сек, частота Найквиста равна 4 гц. Заранее было известно, что в диапазоне частот выше 1 гц мощность незначительна. Поэтому решено было отфильтровать ее с помощью фильтра с передаточной функцией

Поскольку в отфильтрованной записи мощность в диапазоне выше 1 гц пренебрежимо мала, было решено оставить лишь каждую четвертую точку. Таким образом, окончательный данные состояли из 1000 пар точек. Первые 100 значений отфильтрованных величин тока приведены в табл. П11.1.

в) для первоначально было взято значение 80.

2. Первая стадия вычислений

а) Авто- и взаимные корреляции данных, описанных в пункте

б) предыдущей стадии, были сосчитаны и нанесены на график. На рис. 9.20 показана выборочная оценка взаимной корреляционной функции (сплошная линия), построенная для запаздываний от —70 до +70. Видно, что взаимные корреляции затухают очень медленно (так же как и не показанные на рисунке автокорреляции).

Рис. 9.20. Выборочные взаимные корреляционные функции исходных данных и их первых разностей

б) Взаимные корреляции первых разностей также показаны на рис. 9.20 (пунктирная линия). Видно, что они спадают до нуля очень быстро и колеблются около нуля с вполне определенным периодом. Важной отличительной особенностью взаимной корреляционной функции является дельтаобразный пик вблизи начала координат и ее периодический характер. Из рис. 9.20 видно, что низкочастотный тренд маскирует большое число деталей взаимной корреляционной функции исходных данных.

3. Стадия промежуточных решений

а) Из приведенных выше рассуждений следует, что для спектральною анализа нужно использовать взаимные корреляции первых разностей.

б) Взаимная корреляционная функция почти симметрична относительно начала координат. Максимальное по модулю значение достигается при так что параметр сдвига был взят равным — 2.

в) В качестве исходных значений для вычисления спектров были взяты 32, 48 и 64.

4. Вторая стадия вычислений

а) С помощью окна Тьюки и при были сосчитаны автоспектры, фазовый спектр и спектр когерентности в преобразованной форме.

б) При автоспектры показаны на рис. 9.21. Преобразованные спектры когерентности и фазовые спектры показаны при и 64 на рис. 9.22 и 9.23 соответственно.

Рис. 9.21. Выборочные оценки автоспектров для первых разностей от данных о токах турбогенератора

5. Стадия интерпретации

а) В фазовом спектре выравненных рядов не заметно никаких линейных трендов. Поэтому мы решили, что дальнейшее выравнивание не нужно.

б) Стягивание окна показывает, что для получения удовлетворительных выборочных оценок всех четырех спектров требуется значение не меньше 32. Например, из рис. 9.22 видно, что уменьшение ширины полосы частот окна при переходе от к не изменяет широких деталей спектра когерентности. Однако при из-за неустойчивости появляются осцилляции. Поэтому в качестве окончательного значения было выбрано 48 (на рис. 9.22 соответствующий спектр не показан). Аналогичные рассуждения справедливы и для выборочных оценок фазы, показанных на рис. 9.23.

в) Доверительные интервалы для фазы и для когерентности в преобразованной форме были сосчитаны с помощью формулы (9.2.23) и рис. 9.3, где мы полагали

было равно 32 и 64. Эти -ные доверительные интервалы для преобразованной когерентности легко перевести в доверительные интервалы для воспользовавшись масштабом для нанесенным на оси ординат на рис. 9.22. Так как ряды состоят из 1000 наблюдений, доверительные интервалы получились довольно узкие.

Рис. 9.22. Выборочные оценки спектра преобразованной когерентности для первых разностей от данных о токах турбогенератора

г) Значения ширины полосы частот вычислялись по формуле

и наносились на рисунки.

Выводы. Отличительная особенность результатов проведенного анализа взаимных спектров состоит в наличии большого пика в спектре когерентности около 0,07 гц и плоской области со значением около 0,18, занимающей почти весь частотный диапазон. Большой пик около 0,07 гц объясняется тем, что спектры обеих составляющих тока имеют пики вблизи этой частоты, а в полосе частот от 0 до 0,1 гц содержится большая часть мощности.

Следовательно, можно было бы предвидеть, что синфазный и сдвинутый по фазе токи сильно коррелированы в этой полосе. Фазовые спектры на рис. 9.23 показывают, что сдвинутая но фазе компонента тока опережает синфазную примерно на 2 сек. На рис. 9.23 при наряду со спектром для выравненных рядов показан

Рис. 9.23. Выборочные оценки фазового спектра для первых разностей от данных о токах турбогенератора и спектр рядов без выравнивания. Видно, что значение весьма эффективно устраняет линейный фазовый сдвиг между двумя составляющими тока.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)