9.1.2. Критерии корреляции двух временных рядов

Часто встречаются ситуации, когда бывает нужно проверить, коррелироваиы два временных ряда или нет. Например, может возникнуть необходимость проверки корреляции двух управляющих переменных или остаточных шумов двух экономических временных рядов после подгонки соответствующей модели. Из

разд. 8.2.2 следует, что если оба временных ряда профильтровать так, чтобы они превратились в белые шумы, то для проверки корреляции этих рядов можно будет использовать их выборочную взаимную корреляционную функцию. Однако эта функция полезна лишь для выявления корреляции определенного типа. Например, если коррелированы соседние точки двух временных рядов, то следует ожидать, что выборочная взаимная корреляционная функция будет велика при малых значениях аргумента и мала при больших значениях. С другой стороны, если есть подозрение, что взаимная корреляционная функция содержит гармоническую компоненту, то этого, возможно, нельзя будет выявить с помощью выборочной корреляционной функции. Поэтому нужно построить частотный критерий корреляции двух временных рядов, который был бы обобщением критерия белого шума, приведенного в разд. 6.3.2. Этот частотный критерий следует использовать в сочетании с критерием, основанным на выборочной взаимной корреляционной функции.

Выбор функций для критерия. Обсуждение в разд. 8.4.4 наводит на мысль о том, что в качестве исходных количеств для частотного критерия корреляции двух временных рядов можно было бы использовать случайные функции, соответствующие выборочному спектру когерентности и выборочному фазовому спектру Заметим, однако, что

Таким образом, независимо от того, каков двумерный случайный процесс, выборочный спектр когерентности тождественно равен единице. Следовательно, необходим другой подход, использующий выборочную коспектральную функцию и выборочный фазовый спектр. Эти функции характеризуют два различных типа взаимной корреляции процессов.

1. Выборочная коспектральная функция (integrated sample соspectrum). Рассмотрим коспектральную функцию

характеризующую полную синфазную ковариацию двух процессов для всех частот, не превосходящих Тогда оценка

определится как случайная величина, соответствующая выборочной коспектральной функции

Удобнее, однако, использовать нормированную оценку

где оценки стандартных отклонений двух процессов. Если процессы некоррелированы, то тождественно равно нулю и, следовательно, тождественно равно нулю, но если процессы коррелированы, то отлично от нуля.

Рис. 9.1. Выборочные коспектральные функции трех двумерных рядов.

Используя (8.3.16), получаем, что из-за нормировки при гц.

На рис. 9.1 показаны выборочные оценки, соответствующие (9.1.10), сосчитанные по выборке объема из трех двумерных гауссовских процессов. Эти процессы имели вид

где — случайные нормальные числа и а принимало значения 0; 0,1 и 0,3. Таким образом, взаимные корреляции равнялись нулю для всех ненулевых запаздываний, а для нулевого запаздывания и 0,55 соответственно. На рис. 9.1 видно, что при выборочная коспектральная функция колеблется около нуля и не указывает на существование корреляции между двумя

процессами. При выборочная коспектральная функция систематически возрастает до значения 0,20 при гц, что говорит о корреляции двух процессов. Так как то значение 0,20 при гц является в этом случае хорошей выборочной оценкой величины При корреляция двух рядов становится весьма заметной. Таким образом, поведение трех функций на рис. 9.1 подтверждает то, что используемый критерий очень хорошо обнаруживает корреляцию двух временных рядов. Значения выборочного коспектра и квадратурного спектра для случая приведены в табл. 9.1. Читатель может воспользоваться ими для вычисления выборочной коспектральной функции, изображенной на рис. 9.1.

Таблица 9.1. (см. скан) Выборочные коспектр и квадратурный спектр для двух некоррелированных белых шумов

2. Фазовый спектр. Другой функцией, которая может указы вать на корреляцию двух рядов, является оценка фазового спектра . В разд. 9.1.1 было показано, что если два процесса некоррелированы, то эта оценка фазового спектра будет распреде лена Приблизительно равномерно в интервале

Следовательно, функция распределения фазового угла будет выглядеть как наклонный отрезок прямой в этом интервале.

Численные значения выборочных оценок фазы для двух белых шумов [случай приведены в табл. 9.1 вместе с выборочными коспектром и квадратурным спектром. Выборочная функция распределения фазы показана на рис. 9.2. Мы видим, что имеется хорошее согласие между выборочной и теоретической функциями распределения. Чтобы увидеть, значимы ли отклонения от линейности, можно нанести на рисунок -ные доверительные пределы на расстоянии от теоретической функции распределения и -ные пределы на расстоянии

Рис. 9.2. Выборочная функция распределения фазы для одного двумерного процесса.

Мы видим, что выборочная функция распределения лежит целиком внутри этих пределов при При и 0,55 выборочная функция распределения также лежит вблизи теоретической прямой. Таким образом, при ни выборочная коспектральная функция, ни выборочный фазовый спектр не обнаруживают корреляции двух рядов. Когда и 0,55, поведение выборочной коспектральной функции указывает на корреляцию рядов, но выборочный фазовый спектр ведет себя так же, как и в случае некоррелированных рядов. Этого следовало ожидать, так как теоретический фазовый спектр при этом равен нулю. Конечно, в общем случае коррелированные двумерные процессы будут иметь как отличный от нуля коспектр, так и ненулевой фазовый спектр. В таких случаях можно ожидать, что корреляция будет обнаружена как с помощью выборочной коспектральной функции, так и с помощью выборочного фазового спектра.