11.2.5. Многомерные процессы авторегрессии и скользящего среднего
Многомерные процессы авторегрессии и скользящего среднего получаются из линейных процессов, когда матрица откликов на единичный импульс принимает специальную форму. Эти процессы можно выписать, если в их одномерном представлении заменить скаляры на векторы и матрицы. Например, дискретный многомерный процесс авторегрессии получится, если переделать запись (5.2.26) следующим образом:
Равенство (11.2.23) для случая, скажем, двух переменных можно расписать в виде
Аналогично, дискретный многомерный процесс скользящего среднего первого порядка имеет вид
и в случае двух переменных он записывается в виде равенств
Процессы скользящего среднего. Общий многомерный процесс скользящего среднего можно записать в виде
Соответствующую матричную ковариационную функцию можно вычислить с помощью определения (11.2.1)
Процессу (11.2.24) соответствует частотная характеристика
и, следовательно, спектральная матрица
Процессы авторегрессии. Общий дискретный многомерный процесс авторегрессии можно записать в виде
Его матричная ковариационная функция удовлетворяет разностному уравнению
В частном случае 
это уравнение имеет решение
так что матричная ковариационная функция легко находится с помощью возведения в степени матрицы си. Остается еще вычислить матрицу 
что можно сделать прямыми методами, проиллюстрированными в примере из разд. 8.1.5.
Рассматривая (11.2.27) как линейную систему с матрицей частотных характеристик
и пользуясь равенством (11.2.21), находим спектральную матрицу
Аналогично матричная ковариационная функция непрерывного процесса авторегрессии
удовлетворяет дифференциальному уравнению
Пусть, например, 
Тогда
Спектральную матрицу, соответствующую процессу (11.2.29), можно получить, рассматривая его как линейную систему с матрицей частотных характеристик
Смешанные процессы. Еще более общим является многомерный смешанный процесс авторегрессии — скользящего среднего
С помощью модели (11.2.30) можно получать разнообразные матричные ковариационные функции. Поэтому эта модель является мощным средством для описания многомерных временных рядов.
