Глава 10. ОЦЕНИВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

В этой главе рассматривается задача оценивания частотной характеристики линейной системы по имеющимся записям, соответствующим входу и выходу системы.

Во введении обсуждается решение этой задачи с помощью оценивания функции отклика на единичный импульс. Оказывается, что такой подход неудовлетворителен как из-за того, что он требует оценивания слишком большого числа параметров, так и из-за того, что выборочные оценки при таком подходе имеют плохие статистические свойства. Это происходит потому, что оценки соседних значений функции отклика на единичный импульс сильно коррелированы. От этих трудностей можно избавиться, если перейти к оцениванию частотной характеристики с помощью анализа взаимных спектров. Показано, как можно получить хорошие оценки функций усиления и фазы с помощью метода стягивания окна, а также выводятся доверительные интервалы для этих функций. Мы приходим к выводу, что, хотя анализ взаимных спектров и является иногда полезным исследовательским средством при оценивании характеристик линейных систем, все же конечной целью такой ргботы должно быть оценивание параметров некоторой модели методом наименьших квадратов, видоизмененным так, чтобы учесть корреляцию остаточных ошибок.

10.1. ВВЕДЕНИЕ

В этой главе мы будем иметь дело со второй из обсуждавшихся в начале гл. 8 задач для двумерных временных рядов, а именно с задачей, в которой известно, что случайные процессы являются соответственно входом и выходом некоторой физической системы. Имея реализации этих процессов на интервале требуется оценить характеристики этой системы. Например, могла бы быть скоростью впуска газа в газовую печь, — выходным продуктом, как показано на рис. 8.3.

Проблемы такого рода часто возникают при изучении промышленных процессов. Здесь можно различать два случая: когда являются обычными рабочими записями и когда вход

меняют умышленно, а (-соответствующий этим изменениям выход. Опасности, возникающие при анализе данных первого типа, хорошо известны. Наиболее важная из них заключается в том, что любое связывающее соотношение, согласующееся с наблюдаемыми данными, может оказаться совершенно бесполезным для предсказания изменений вызванных преднамеренными изменениями Это может произойти, например, если непосредственно не влияет на но коррелировано с некоторой третьей переменной непосредственно воздействующей на Поэтому данные второго типа предпочтительней для анализа систем, однако их не всегда можно получить, так как эксперименты с такими системами иногда невозможны. Заметим также, что классические методы оценивания характеристик системы с помощью единичного скачка или синусоидальной волны могут оказаться неудачными из-за больших флуктуаций, возникающих внутри системы. Поэтому необходимо обратиться к статистическим методам, рассчитанным на то, что внутри системы имеется шум.

Оценивание функций отклика на единичный импульс. Для того чтобы оценить характеристики системы, примем прежде всего упрощающее предположение, что система линейна. В гаком случае соотношение между входом и выходом можно точно описать с помощью динамической случайной модели

где - функция отклика системы на единичный импульс и -шум, или член ошибки, который предполагается некоррелированным со входом Вероятно, модель (10.1.1) неадекватна в некоторых случаях из-за нелинейности соотношения, связывающего вход и выход, либо из-за обратной связи входа с выходом через регулятор, как описано в [1], либо, наконец, из-за влияния других входных переменных на выход (гл. 11). Но в настоящий момент мы предположим, что модель (10.1.1) адекватно описывает реальную ситуацию. Это будет действительно так, если изменения достаточно малы и нет обратной связи.

Для дискретного случая модель (10.1.1) имеет вид

Этой моделью часто пользуются для оценивания весов по записям входа и выхода. Такой подход может быть неудовлетворительным по двум причинам. Во-первых, число весов которое нужно знать для характеристики системы, может оказаться

большим. Поскольку физические системы обычно можно описать дифференциальными уравнениями вида (2.3.18), содержащими небольшое число параметров, разумнее параметризовать задачу, подбирая следующую модель:

При такой параметризации число оцениваемых параметров остается небольшим. Во-вторых, оценки метода наименьших квадратов для полученные из (10.1.2), сильно коррелированы, так же как оценки авто- и взаимных корреляционных функций. Пример такой корреляции оценок будет приведен в разд. 10.2.

Оценивание частотных характеристик. Характеристики системы можно оценивать также в частотной области с помощью спектрального анализа. Основное преимущество такого подхода состоит в том, что он устраняет трудности, обусловленные второй из перечисленных выше причин. В разд. 10.3 будет показано, что с помощью взаимного спектрального анализа можно оценить частотную характеристику

взяв в качестве ее оценки функцию

В (10.1.5) - сглаженная оценка взаимного спектра входа и выхода, а -сглаженная оценка спектра входа. Значения оценки (10.1.5) на соседних частотах некоррелированы. Следовательно, оценка функции полученная с помощью обратного преобразования Фурье от (10.1.5), будет гораздо более гладкой, чем при непосредственном оценивании

Поскольку используемый в спектральном анализе метод стягивания окна сам подстраивается под локальные свойства частотной характеристики, можно ожидать, что в частотной области понадобится меньше параметров, чем во временной. Однако при спектральном анализе требуется все же оценивать больше параметров, чем при подгонке надлежащим образом выбранной параметрической модели. Поэтому в работах подобного рода как окончательную цель следует рассматривать параметрическое оценивание. Основное значение спектрального анализа при анализе систем состоит в том, что он служит методом, полезным для выдвижения возможных моделей. Впрочем спектральный анализ имеет и

несколько преимуществ по сравнению с параметрическим подходом. Во-первых, как показано в гл. 11, его легко обобщить на многомерные системы. Во-вторых, во многих практических задачах инженеры заинтересованы в описании функций усиления и фазы лишь в очень ограниченном диапазоне частот, в то время как параметрическая модель дает описание в гораздо более широкой области. И наконец, благодаря гибкости спектрального подхода временные ряды можно расфильтровать на компоненты, соответствующие различным частотным диапазонам, и затем анализировать их по отдельности. В некоторых приложениях это необходимо, ибо предположение о том, что одна и та же параметрическая модель верна в широком диапазоне частот, может быть неоправдано.