11.2.2. Спектральная матрица
Далее мы всюду будем считать, что каждый отдельный процесс, входящий в многомерный процесс, является комплексным. Как показано в разд. 11.1.3, каждой паре процессов соответствует взаимный спектр, определяемый равенством
Обратное (11.2.3) преобразование имеет вид
Состоящая из авто- и взаимных спектров матрица
называется спектральной матрицей случайного многомерного процесса.
Свойства эрмитовости и положительной полуопределенности. Сейчас мы выведем очень важное свойство, которым обладает спектральная матрица. Это свойство заключается в том, что авто- и взаимные спектры должны удовлетворять некоторым совместным ограничениям.
Поступая так же, как и в разд. 6.2.1 при введении автоспектра, определим комплексный случайный процесс 
являющийся линейной комбинацией 
отдельных случайных процессов, а именно
где 
— произвольные комплексные константы. Тогда автоковариационная функция процесса 
равна
Взяв преобразование Фурье от (11.2.6) и используя равенство (11.2.4), автоспектр процесса 
можно выразить через
спектральную матрицу многомерного процесса. В результате получим
Так как 
— действительная скалярная функция, то 
Поэтому из (11.2.7) следует, что
Таким образом, имеем
так что спектральная матрица — эрмитова, т. е.
Кроме того, так как квадратичная форма (11.2.7) неотрицательна при всех значениях X, то 
— эрмитова, положительно полуопределенная матрица. Это значит, что любой главный минор 
неотрицателен. Например, при 
мы имеем
откуда следует, что квадрат коэффициента когерентности удовлетворяет неравенствам
Аналогично, при 
получаем
В разд. 11.3 будет показано, что, пользуясь (11.2.9), можно определить квадрат множественного коэффициента когерентности 
такого, что
