11.1.2. Собственные числа матрицы ковариации и спектр

В этом разделе мы покажем, что собственные числа матрицы ковариаций приблизительно равны значениям спектра мощности на частотах Некоторые элементарные свойства собственных

чисел и собственных векторов, которые понадобятся в этом разделе, изложены в Приложении

Линейное преобразование коррелированных случайных величин в некоррелированные. Предположим, что матрица ковариаций случайных величин равна V. Рассмотрим линейные функции величин, где — левосторонние собственные векторы матрицы V. Из (П 11.1.7) получаем

Поэтому преобразование

переводит коррелированные случайные величины в некоррелированные величины Далее, дисперсия равна — собственному числу, соответствующему вектору Например, при собственные числа получаются из уравнения

так что Собственные векторы равны

Следовательно,

и можно проверить, что некоррелированы и Обратное (11.1.8) преобразование, а именно

показывает, что можно записать в виде линейной функции от некоррелированных случайных величин Наконец, с помощью (3.2.18) дисперсию можно разложить на слагаемые

Собственные числа циклического случайного процесса. В общем случае собственные векторы матрицы ковариаций (11.1.2) случайного процесса зависят от ковариаций очень сложным образом. Однако ситуация существенно упрощается для периодического, или циклического, процесса с периодом Это означает, что

и, следовательно, автокорреляции удовлетворяют условию

Если циклический процесс построен из обычного процесса с помощью первых членов, то при он будет стремиться к этому исходному процессу. Следовательно, при конечном свойства циклического процесса будут приближенно совпадать со свойствами исходного процесса.

В силу условия (11.1.14) матрица ковариаций циклического процесса имеет вид

Собственные числа матрицы удовлетворяют уравнению

где Определитель (11.1.16) называется циркулянтом. Его можно представить в виде следующего разложения:

где — один из корней степени из единицы. Подставляя вместо их значения в (11.1.17) и считая, что собственные числа матрицы можно записать в виде

Все собственные значения, за исключением значений с индексами попарно равны, а именно Собственные векторы, соответствующие значениям имеют вид

т. e. они представляют собой синусоидальную и косинусоидальную волны с частотой

Отсюда, применяя преобразование (11.1.8), получаем некоррелированные величины

Далее, с помощью (11.1.12) находим

и с помощью (11.1.13) получаем

Равенство (11.1.18) показывает, что при собственное число т. е. собственные числа выписывают кривую спектра. Аналогично, при равенства (11.1.19) и (11.1.20) переходятв

и

Равенство (11.1.23) показывает, что процесс можно представить в виде суммы синусоидальных и косинусоидальных волн

в непрерывном диапазоне частот. Амплитуды (11.1.22) этих волн сами образуют ортогональный (некоррелированный) процесс, или процесс с ортогональными приращениями, обсуждавшийся в разд. 5.2.2.