11.2.4. Многомерные линейные процессы
Стационарность. Если входы Zi(t) в (11.2.10) представляют собой набор белых шумов, то модель (11.2.10) определяет многомерный линейный процесс. Для полной общности предполагается, что эти белые шумы коррелированы в одинаковые моменты времени, а в остальные моменты некоррелированы. Таким образом,
Отсюда матричная ковариационная функция белых шумов имеет вид
С помощью (11.2.10) находим матричную ковариационную функцию процесса 
Если матричная ковариационная функция 
имеет вид (11.2.18), то (11.2.19) сводится к
Следовательно, этот многомерный процесс является стационарным второго порядка, так как его матричная ковариационная функция зависит только от запаздывания и. Впрочем, для стационарности 
нужно, чтобы выполнялось еще одно условие. Поскольку при любом и элементы матрицы 
не превосходят по модулю соответствующих диагональных элементов матрицы 
нужно еще потребовать, чтобы 
была конечной, т. е.
где неравенство выполняется для всех элементов матрицы.
Спектральная матрица линейного процесса. Взяв преобразование Фурье от (11.2.19), находим спектральную матрицу линейного процесса (11.2.10)
где 
В частном случае, когда матричная ковариационная функция имеет вид (11.2.18), спектральная матрица (11.2.21) переходит в
Пример. Предположим, что
где А — действительная матрица. Так как для действительной 
имеет место равенство 
то
Для случая с двумя входами и двумя выходами, который мы обсуждали выше,
отсюда получаем
и, следовательно,
Если
то это выражение сводится к
