10.3.4. Доверительные интервалы для функций усиления и фазы
Полученными в предыдущем разделе формулами можно воспользоваться, чтобы вывести приближенные доверительные интервалы для функций усиления и фазы. Из (10.3.14) получаем
Отсюда находим доверительную область для неизвестной функции 
с уровнем доверия 
Из (10.3.18) получаем доверительную область для функций усиления и фазы:
где опущен аргумент 
Если рассматривать величины 
как новые параметры, то область (10.3.19) представляет собой круг радиуса 
как показано на рис. 10.1, а. Если отобразить этот круг на плоскость 
то он перейдет в область, показанную на рис. 10.1,6. В качестве грубого приближения эту область
можно заменить почти покрывающим ее прямоугольником. В результате для функции усиления получится доверительный интервал 
а для функции фазы доверительный интервал будет равен углу, образованному прямыми 
и 
Рис. 10.1. Доверительные области для функций усиления и фазы.
Эту область можно записать с помощью неравенств
Учитывая, что
-ные доверительные интервалы для 
и 
можно записать в виде
и
Заметим, что доверительные интервалы уменьшаются с увеличением числа степеней свободы и когерентности 
Пример. Предположим, выборочное значение 
равно 0,8 и на выборочные оценки усиления 
и фазы 
приходится 
степеней свободы. Тогда 95%-ные доверительные интервалы (10.3.20) и (10.3.21) имеют вид
т. е.
Смещение оценки функции усиления. Доверительные интервалы (10.3.20), (10.3.21) для функций усиления и фазы получены в предположении, что оценки 
— несмещенные, что верно лишь с некоторым приближением. Как показано в разд. 9.3.3, смещение оценок спектров фазы и когерентности можно уменьшить, выравнивая временные ряды. Сейчас мы покажем, что смещение оценки функции усиления также можно уменьшить с помощью выравнивания. Чтобы показать это, воспользуемся методом, аналогичным методу разд. 9.3.3.
По определению смещение оценки функции усиления равно
Считая, что смещение оценки входного спектра пренебрежимо мало, (10.3.22) можно переписать в виде
так что нужно определить лишь смещение 
Действуя так же, как и в разд. 9.3.3, можно получить смещение оценки функции усиления при использовании окна Тьюки
Заметим, что в этом выражении появляется тот же член 
который входил в выражение (9.3.26) для смещения оценки
спектра когерентности. Следовательно, смещение оценки функции усиления уменьшается при выравнивании по тем же причинам, которые указаны в разд. 9.3.
