7.1.2. Влияние ширины полосы частот на сглаживание

В этом разделе эмпирически исследуется влияние изменения полосы частот, или, что эквивалентно, точки отсечения на сглаживание выборочной спектральной оценки. Временные ряды, которыми мы будем пользоваться, являются реализациями процессов авторегрессии первого и второго порядков с известным спектром Вычисляются средний сглаженный нормированный спектр

и сглаженная выборочная оценка нормированного спектра по формуле (7.1.6). Средний сглаженный нормированный спектр есть математическое ожидание сглаженной оценки нормированного спектра, и, следовательно, нанося его на график вместе мы получим представление о том, как смещение изменяется с частотой. Нанося на график семейство кривых с различными значениями мы наглядно выявим зависимость смещения от ширины полосы частот окна. Точно так же, нанося на график сглаженную выборочную оценку вместе с для различных значений мы получим ясную картину влияния ширины полосы на дисперсию оценки.

Процесс авторегрессии первого порядка. Мы будем использовать для вычислений процесс авторегрессии первого порядка (5.2.26) при т. е.

Согласно формуле (6.2.20), нормированный спектр этого процесса равен

Этот спектр показан на рис. 7.2. Видно, что он изменяется очень плавно, имеет широкий пик при гц, и диапазон его изменений в вертикальном направлении очень мал. На этом рисунке приведены также средние сглаженные нормированные спектры для значений , соответствующие окну Тьюки. Анализируя эти кривые, мы видим, что при средний

сглаженный спектр имеет сильное смещение, особенно вблизи пика, где смещение отрицательно. При увеличении до 8 соответствие между улучшается, особенно для частот, меньших 0,375 гц, для которых фактически неразличимы. Поэтому при выборочная оценка имела бы допустимо малое смещение в большей части частотного диапазона. Однако вблизи пика смещение все еще оставалось бы значительным, и, следовательно, чтобы точно оценить значения спектра вблизи пика, необходимо взять еще больше.

Рис. 7.2. Средние сглаженные нормированные спектры для процесса авторегрессии первого порядка

Снова удвоив до мы видим, что все еще остается небольшое смещение вблизи пика, Уменьшение смещения при этом удвоении значительно меньше, чем при удвоении от до Поэтому увеличивать больше 8, возможно, уже нецелесообразно. Этот факт нетрудно объяснить, если заметить, что для выполняются неравенства , следовательно, увеличение больше 8 приводит лишь к незначительным изменениям суммы в (7.1.7). К аналогичным выводам можно прийти и для средних сглаженных спектров, нолученных с помощью окон Бартлетта и Парзена. Для окна Бартлетта хорошая выборочная оценка получается, когда принимает значение где-то между 12 и 16, а для окна Парзена при

На рис. 7.3 и 7.4 показаны сглаженные выборочные оценки нормированных спектров, полученные с помощью окна Тьюки для реализаций, состоящих из и 100 членам этого процесса. На рис. 7.3 мы видим, что увеличение от 4 до 8 существенно

изменяет выборочную спектральную оценку. Дальнейшее увеличение от 8 до 16 дает лишь незначительные изменения, и, следовательно, разумную выборочную оценку спектра можно было бы получить при Число степеней свободы на каждое оцениваемое значение спектра в этом случае равно 133, так что доверительные интервалы очень узкие.

Рис. 7.3. Сглаженные выборочные оценки нормированного спектра процесса авторегрессии первого порядка

Ситуация меняется для показанных на рис. 7.4 выборочных оценок, полученных по реализации из членам. Здесь увеличение от 4 до 8 приводит к существенным изменениям выборочной оценки спектра, но еще большие изменения получаются, когда возрастает до 16 или до 32. Отметим, что при этом вполне явно обозначаются ложные пики на частотах 0,22 и 0,44 гц, возникающие благодаря увеличению дисперсии оценки.

Заметим также, что число степеней свободы на каждое оцениваемое значение спектра равно соответственно 33, 17 и 8 для и 32. Выборочная оценка при разумно близка к теоретическому спектру, однако, не зная истинного ответа, мы, конечно, испытывали бы некоторую неуверенность при интерпретации этих выборочных оценок. В частности, трудно было бы решить, стоит ли выбрать плавную выборочную оценку при или же более детальную, но с большей дисперсией, выборочную оценку при

Отрезки, равные ширине полосы частот используемого окна, для разных точек отсечения изображены на рис. 7.3 и 7.4. Они представляют собой очень полезную наглядную характеристику, так как дают возможность правильно судить о степени детальности спектра в зависимости от ширины полосы частот используемого окна.

Рис. 7.4. Сглаженные выборочные оценки нормированного снектра процесса авторегрессии первого порядка

Процесс авторегрессии первого порядка. Аналогичный анализ был проведен для авторегрессии первого порядка

Теоретический нормированный спектр этого процесса равен

График этой функции показан на рис. 7.5. Она имеет очень узкий пик вблизи гц и изменяется от 0,105 до 38,0, так что пришлось построить ее в логарифмическом масштабе. Практическое преимущество логарифмического масштаба состоит не только в том, что он лучше выявляет детали спектра, но также и в том, что для этого масштаба, как указывалось в разд. 6.4.3,

доверительные интервалы одинаковы для всех частот, и, следовательно, их легко изобразить на рисунке. Поэтому выборочные спектральные оценки всегда следует изображать в логарифмическом масштабе. В то же время масштаб по частоте должен быть линейным, так как ширина полосы частот окна остается константой именно для такого масштаба.

Рис. 7.5. Средние сглаженные нормированные спектры для процесса авторегрессии первого порядка

Средние сглаженные нормированные спектры для процесса (7.1.8) показаны на рис. 7.5 для окна Бартлетта с точками отсечения и 32. Как и раньше, для всех этих значений смещение велико вблизи пика и убывает с увеличением Судя по этим графикам, ни одна из этих точек отсечения не кажется явно хорошей (возможно, требуется значение Это подтверждается также, если рассмотреть корреляционную функцию так как равен 0,034 для и 0,0012 для Следовательно, можно прийти к заключению, что для

этого процесса необходимо выбирать очень большое если требуется малое смещение. При этом для того, чтобы получить оценку с малой дисперсией, нужно будет использовать очень длинные реализации. Из рис. 7.5 видно, что при малых средний сглаженный спектр проявляет некоторые осцилляции. Они возникают из-за боковых лепестков окна Бартлетта, которые мы обсуждали в разд. 7.2.5.

Рис. 7.6. Сглаженные выборочные оценки нормированного спектра процесса авторегрессии первого порядка

Трудности при попытках дать хорошую выборочную оценку узкого спектрального пика проиллюстрированы на рис. 7.6. Здесь показана функция для окна Бартлетта при и 48, причем реализация состояла из членам процесса (7.1.8). При получается разумно плавная выборочная оценка, но для точки пика она дает в три раза меньшее значение. Увеличение до 32 слегка улучшает выборочную оценку вблизи пика и

более заметно на низких частотах. Однако теперь появляются осцилляции из-за увеличения дисперсии. При выборочная оценка становится очень ненадежной, из чего следует, что для получения более надежной выборочной оценки вблизи пика нужны более длинные реализации. Заметим, однако, что можно получить удовлетворительную выборочную оценку в интервале частот от 0 до 0,45 гц при или, возможно, при еще меньшем значении, скажем,

Рис. 7.7. Средние сглаженные нормированные спектры для процесса авторегрессии второго порядка

Сравнение рис. 7.6 с рис. 7.4, на котором показаны выборочные спектральные оценки для случая выявляет тот важный факт, что одна и та же длина временного ряда может давать приемлемую выборочную оценку для плавного спектра, но быть недостаточной для получения хорошей выборочной оценки спектра с узким пиком.

Процесс авторегрессии второго порядка. Чтобы сравнить трудности, возникающие при оценивании спектрального пика, расположенного внутри частотного диапазона, по сравнению с рассмотренным выше случаем пика на крайней частоте, рассмотрим процесс авторегрессии второго порядка (5.3.36), т. е.

Рис. 7.8. Сглаженные выборочные оценки нормированного спектра процесса авторегрессии второго порядка

Этому процессу соответствует нормированный спектр (6.2.22), а именно

Этот спектр изображен на рис. 7.7, где показаны также средние сглаженные нормированные спектры соответствующие

окну Парзена при и 32. Как и раньше, с увеличением функция приближается к Из табл. 6.6 видно, что значениям и 32 соответствуют значения ширины полосы частот спектральных окон 0,12 и 0,06 гц. Если за определение ширины пика принять расстояние между точками, в которых мощность убывает в два раза от пикового значения, то в нашем случае эта ширина будет около 0,08 гц.

Рис. 7.9. Сглаженные выборочные оценки нормированного спектра процесса авторегрессии второго порядка

Из рис. 7.7 видно, что при и 16 пик оценивается плохо, однако при смещение достаточно мало из-за того, что ширина полосы частот окна равна

0,06 гц, т. е. меньше ширины пика 0,08 гц. Это наводит на мысль о том, что значение точки отсечения, необходимое для получения выборочной оценки с приемлемо малым смещением, зависит от ширины пика в спектре. К этому замечанию мы еще вернемся в разд. 7.2.4.

Сглаженные выборочные оценки нормированного спектра полученные по реализации из членам процесса (7.1.9) с помощью окна Парзена, показаны на рис. 7.8. Использованные в этом примере данные представляют собой первые 50 значений из таблицы данных в Приложении Выборочные корреляции для этих 50 значений приведены в табл. При получается плавная выборочная оценка, но без всякого намека на пик внутри частотного интервала. Утроив до 24, получаем слабо выраженный пик около 0,125 гц, т. е. истинной частоты пика.

Когда возрастает до 40, появляются многочисленные другие небольшие пики из-за увеличения дисперсии оценки. Следовательно, у нас не было бы полной ясности относительно истинной формы спектра, если бы мы заранее не знали, какое лучше всего соответствует теоретическому спектру.

На рис. 7.9 показаны выборочные спектральные оценки для того же самого процесса, сосчитанные по реализации из членам. Эти 400 значений приведены в табл. а выборочные корреляции, сосчитанные по ним, даны в табл. При выборочная оценка ближе к истинному спектру, чем любая из выборочных оценок для но улучшение не столь велико, как этого можно было бы ожидать. Поскольку при число степеней свободы на каждое оцениваемое значение спектра равно , по-видимому, следовало бы считать, что пик вблизи частоты

0,125 гц действительно существует. Заметим, однако, что этот пик значительно уже теоретического.