7.2.5. Формирование окна

В разд. 7.1 было эмпирически показано, что стягивание окна гораздо важнее, чем формирование окна. Тем не менее известное значение имеет и конструкция окна, которое будет использовано. Как отмечалось выше, один из возможных подходов к такому конструированию дает использование критериев оптимальности при сглаживании (разд. 7.2.1). Однако можно показать, что окна, являющиеся плохими с точки зрения критерия среднеквадратичной ошибки или аналогичного критерия, имеют плохую форму и с других точек зрения. В этом разделе указан перечень некоторых важных свойств, которыми должны обладать спектральные окна. Аналитический подход к этой задаче применен в работе [1]; здесь излагается более описательный метод.

1. При заданной точке отсечения М смещение, обусловленное спектральным окном будет мало, если это окно сосредоточено вблизи нуля. Из рис. 6.12 и 6.13 видно, что соответствующее прямоугольному корреляционному окну спектральное окно сконцентрировано около центральной частоты теснее, чем любое другое. Из табл. 6.6 следует, что спектральное окно имеет наименьшую полосу частот. Следовательно, ширина полосы частот служит мерой сконцентрированности спектрального окна.

2. Спектральное окно имеет наименьшую полосу частот за счет того, что боковые лепестки этого окна самые большие, как видно из рис. 6.13. Влияние боковых лепестков выражается в том, что из-за них значения спектра на частотах отстоящих довольно далеко от могут давать большой вклад в смещение на частоте Этот эффект называют утечкой (leakage). Из рис. 6.13 видно, что окна и имеют гораздо меньшие боковые лепестки, чем а лепестки спектрального окна Бартлетта больше, чем у окон и что, как показывает рис. 7.5, может приводить к неприятностям в случае узкого пика в спектре. Если нужно, чтобы боковые лепестки были минимальны, то окно предпочтительней, чем другие.

3. Спектральные окна имеют вид

и, следовательно, корреляционные окна связаны между собой с помощью операции свертки. Другими словами, корреляционное окно можно получить, свертывая окно с самим собой. Аналогично, корреляционное окно получается с помощью свертки окна с самим собой 4 раза. То же самое можно сказать несколько по-иному: окно пропорционально плотности вероятности равномерно распределенной случайной величины; окно пропорционально плотности вероятности полусуммы двух равномерно распределенных величин и окно пропорционально плотности вероятности среднего арифметического из четырех равномерно распределенных величин. Ясно, что распределение среднего арифметического из равномерно распределенных величин будет сходиться к нормальному, или гауссовскому, распределению при Таким образом, корреляционное окно сходится к нормальной кривой, и, следовательно, к этой же кривой сходится и спектральное окно (7.2.6), как показано в гл. 2. В действительности, Даниэльс [10] и рекомендует использовать для спектрального анализа нормальное окно.

С одной стороны, увеличение приводит к уменьшению высоты боковых лепестков, что видно из (7.2.6). Однако, с другой стороны, спектральное окно также становится более сплющенным и широким, поскольку оно в первый раз обращается в нуль на частоте Следовательно, для получения заданной ширины полосы при этом потребуется большое М. Например, для получения заданной ширины полосы частот с помощью окна Парзена требуется значение М, примерно на 40% большее, чем для

4. Влияние изменения формы окна при фиксированной точке отсечения можно проиллюстрировать, построив график коэффициента корреляции между сглаженными спектральными оценками на частотах Из (6.4.11) этот коэффициент корреляции равен

На рис. 7.13 корреляционная функция (7.2.7) изображена в зависимости от разности Для окон и из табл. 6.5. Видно, что для широкого окна, такого, как корреляция оценок для малых значений относительно велика, в то время как для больших эта корреляция мала. Наоборот, для узкого

окна, подобного корреляция при малых относительно мала, а при больших относительно велика.

Блэкман и Тьюки [2] предложили из-за корреляции оценок на близких частотах наносить на график лишь некоррелированные выборочные оценки. Однако эта рекомендация опасна для применений, так как при этом можно, например, пропустить пик, вершина которого попала как раз между нанесенными на график некоррелированными выборочными оценками. Наш опыт говорит, что желательно строить график выборочной оценки с шагом по частоте, по крайней мере вдвое меньшим, чем расстояние между некоррелированными оценками, т. е. с шагом не больше

Рис. 7.13. Корреляция по частоте спектральных оценок для различных окон с одинаковой точкой отсечения.

Из сказанного выше можно заключить, что окна имеют приемлемую форму, но, видимо, следует отбросить из-за его больших боковых лепестков. Выборочные оценки спектра, получаемые с помощью окон и всегда неотрицательны, в то время как с помощью окна можно получить иногда отрицательные выборочные оценки, что нежелательно. Хотя у окна боковые лепестки меньше, чем и оно более широкое, и, следовательно, при использовании этого окна требуется вычислять больше ковариаций, чтобы получить заданную ширину полосы частот. Это означает, что если в процессе стягивания окна используется то для того, чтобы выборочная оценка перестала колебаться, потребуется больше времени, чем при использовании окна