10.2.2. Параметрическое оценивание функций отклика на единичный импульс
Правильный параметрический анализ во временной области включает в себя оценивание параметров модели (10.1.3) (см. [1]). Число параметров, которые нужны для такой модели, можно определить, увеличивая количество членов в обеих частях равенства (10.1.3) и оценивая каждый раз дисперсию и автокорреляционную функцию остаточных ошибок. Модель является адекватной, когда нет признаков корреляции остаточных ошибок (эти ошибки нужно проверить с помощью одного из двух критериев белого шума, обсуждавшихся в разд. 5.3.5 и 6.3.2).
Сначала мы испробовали модель вида
для данных, полученных из модели (10.2.1). Предполагая, что 
— белый шум, нормальные уравнения можно вывести,
(кликните для просмотра скана)
минимизируя сумму квадратов
Считая, что входной и выходной временные ряды стационарны, нормальные уравнения можно заменить более простыми приближенными уравнениями, как описано в разд. 5.4.1, что в результате приводит к приближенным равенствам
Если взять для ковариаций их выборочные оценки из табл. П10.2, то решение системы уравнений (10.2.6) будет следующим: 
Затем были вычислены остаточные ошибки по формуле
и сосчитаны их автокорреляции. Первые 10 значений выборочной автокорреляционной функции остаточных ошибок приведены в табл. 10.2. Эти автокорреляции противоречат гипотезе о том, что остаточные ошибки 
являются реализацией белого шума. Они наводят на мысль, что модель (10.2.5) нужно подправить и взять модель
чтобы учесть свойства скользящего среднего, которые проявляют автокорреляции остаточных ошибок.
Таблица 10.2. Автокорреляции остаточных ошибок после подгонки динамической модели
При подгонке авторегрессионной модели для пары временных рядов вход — выход в том случае, когда на выходе имеется шум,
легко видеть, что остаточные ошибки будут иметь свойства процесса скользящего среднего. Порядок этого процесса равен порядку системы, связывающей пару рядов. Следовательно, в нашем случае, для того чтобы остаточные ошибки стали белым шумом, нужно взять два параметра скользящего среднего: 61 и 62.
Был выбран некоторый набор значений пар (61,62), и входной и выходной ряды пропускались через следующие фильтры:
Затем для профильтрованных рядов 
при каждой паре значений (61,62) вновь подгонялась модель (10.2.5) и вычислялись выборочные оценки (10.2.6) для параметров 
и (30. Окончательно были выбраны те оценки, которые минимизировали сумму квадратов остаточных ошибок. Для нашего примера наилучшими значениями 61 и 62 оказались 
а соответствующие им выборочные оценки параметров подправленной системы были равны: 
Выборочная автокорреляционная функция для этой модели принимает малые значения, что подтверждает адекватность модели.
Функция отклика на единичный импульс, соответствующая подправленной модели, приведена в табл. 10.3. Видно, что она гораздо лучше согласуется с теоретической, чем та, которая получена при непосредственном оценивании.
Таблица 10.3. Теоретическая функция отклика на единичный импульс и ее выборочные оценки, полученные при параметрическом оценивании
