7.4. ПРИМЕРЫ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА И ЕГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ

С тех пор как 15 лет назад Бартлетт и Тьюки ввели спектральные методы, в литературе появилось много сообщений об их применениях в различных областях. Большинство этих применений можно разделить на три широкие категории: построение моделей, планирование экспериментов и изучение частотных характеристик.

Некоторые дальнейшие применения спектрального анализа мы приведем ниже, а в настоящий момент уместно показать, какую пользу может принести знание спектра одиночного временного ряда в этих трех областях.

7.4.1. Построение моделей

Форма спектра иногда выявляет особенности временного ряда, которые должны быть учтены в любой модели, предложенной для этого ряда. Например, наличие пиков в спектре и их величины могут выявить основные периодичности, требующие физического объяснения.

В тех случаях, когда спектры изучаются с целью лучшего понимания физического механизма, порождающего временной ряд, одиночный спектр редко бывает очень полезен.

Рис. 7.20. Спектры горизонтальной компоненты скорости ветра.

Наиболее важные наводящие соображения относительно моделей можно получить при изменении внешних условий и совместном изучении нескольких спектров. Эти внешние условия могут находиться вне нашего контроля, как в первом из приводимых ниже примеров, или же их можно преднамеренно изменять в виде запланированного эксперимента, как во втором примере.

Пример 1. На рис. 7.20 показана выборочная спектральная оценка горизонтальной компоненты скорости атмосферной турбулентности, приведенная в [17]. Верхний график получен по измерениям, сделанным при ясной погоде (высокий уровень солнечной радиации), а нижний — по измерениям, проведенным в облачную погоду (низкий уровень солнечной радиации). Отметим, что мощность спектра гораздо больше в периоды высокой радиации и что эта мощность сосредоточена в основном на низких частотах. В частности, пик спектра сдвигается в сторону низких частот с увеличением радиации, в то время как мощность на высоких частотах, по-видимому, не зависит от радиации. Эти выводы

получены в результате детального изучения в работе [18], где предлагается следующее физическое объяснение такого поведения спектров: на высоких частотах основными причинами атмосферной турбулентности являются механические силы, или силы трения, а на низких частотах причиной служит конвекция, вызванная солнечной радиацией.

На рис. 7.20 ордината пропорциональна так как по абсциссе откладывается . В результате, несмотря на логарифмический масштаб, площадь, ограничиваемая кривой, равна полной дисперсии, или мощности. Поскольку средняя скорость ветра V изменяет интенсивность турбулентности и ее распределение по частоте известным образом, то оказалось естественней построить на рис. 7.20 графики безразмерных величин

Рис. 7.21. Спектры вертикальной компоненты скорости ветра.

Пример 2. На рис. 7.21 показаны три выборочные спектральные оценки, относящиеся к измерениям вертикальной компоненты скорости атмосферной турбулентности на трех различных уровнях над поверхностью земли (см. [18]). На рисунке нанесены безразмерные величины где — высота над поверхностью земли. Мы видим, что два верхних спектра очень похожи по форме и имеют максимум на одной и той же частоте. Нижний спектр не похож на остальные. На основании этих и других выборочных спектральных оценок, приведенных в [18], было найдено хорошее согласие в диапазоне частот, где спектр существен, между эмпирическими спектрами и двумя предложенными теоретическими выражениями

где — константа. В литературе можно найти много других примеров объяснений сложных физических явлений, предложенных на основе спектрального анализа или частично проверенных с его помощью.