Глава 8. ВЗАИМНАЯ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ И ВЗАИМНЫЙ СПЕКТР

В этой главе понятия, введенные в гл. 5 и 6 (вып. 1), распространяются на случай пары временных рядов и случайных процессов. Первым таким обобщением, приведенным в разд. 8.1, является взаимная корреляционная функция двумерного стационарного случайного процесса. Эта функция характеризует корреляцию двух процессов при различных запаздываниях. Второе обобщение представляет собой двумерный линейный процесс, образуемый с помощью линейных операций над двумя источниками белого шума. Важными частными случаями такого процесса являются двумерный процесс авторегрессии и двумерный процесс скользящего среднего.

В разд. 8.2 мы обсудим вопрос об оценивании взаимной корреляционной функции. Мы покажем, что если не применять к обоим рядам фильтрации, переводящей их в белый шум, то при оценивании могут возникать ложные завышенные значения взаимной корреляции. В разд. 8.3 вводится третье обобщение — взаимный спектр стационарного двумерного процесса. Взаимный спектр содержит два различных вида информации, характеризующей зависимость между двумя процессами. Информация первого типа содержится в спектре когерентности, являющемся эффективной мерой корреляции двух процессов на каждой из частот. Информация второго типа дается фазовым спектром, характеризующим разность фаз двух процессов на каждой из частот. В разд. 8.4 оба эти типа информации иллюстрируются на простых примерах.

8.1. ФУНКЦИЯ ВЗАИМНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ

8.1.1. Введение

В этой главе мы будем заниматься вопросами описания пары временных рядов, или двумерного временного ряда. Используемые при этом способы являются обобщением способов, применявшихся в гл. 5, 6, и поэтому все относящиеся к временным рядам общие положения, изложенные в разд. 5.1, применимы и в этом случае. В разд. 5.1 под заголовком «Многомерные временные

ряды» кратко упоминалось о том, что отдельные временные ряды, образующие многомерный ряд, могут быть неравноправны по отношению друг к другу. Рассмотрим, например, систему, показанную на рис. 8.1, которая имеет два входа и два выхода

Рис. 8.1. Физическая система с двумя входами и двумя выходами.

Можно различать две ситуации. В первом случае два ряда находятся в одинаковом положении по отношению друг к другу, как, например, два входа на рис. 8.1.

Рис. 8.2. Синфазный и сдвинутый по фазе токи на выходе турбогенератора.

В этом случае могут быть двумя коррелированными переменными управления, взаимодействие которых мы хотим изучить. Пример пары временных рядов, попадающих в эту категорию, приведен на рис. 8.2,

где приведены записи синфазного и сдвинутого по фазе входных токов турбогенератора.

Во втором случае два временных ряда причинно связаны, например вход на рис. 8.1 и зависящий от него выход . В такой ситуации обычно требуется оценить свойства системы в такой форме, чтобы было удобно предсказывать выход по входу. Пример пары временных рядов такого типа приведен на рис. 8.3, где показана скорость впуска газа и концентрация двуокиси углерода на выходе газовой печи.

Рис. 8.3. Сигналы на входе и выходе газовой печи.

Видно, что выход запаздывает по отношению ко входу из-за того, что для доставки газа к реактору требуется некоторое время.

В первой ситуации обычно интересуются описанием взаимодействия, или корреляции, между двумя рядами, так чтобы это взаимодействие можно было подвергнуть любому дальнейшему исследованию. Например, если мы хотим управлять значениями выхода с помощью двух коррелированных управляющих переменных и хотим получить определенный результат на выходе, то нужно изучить эту взаимную корреляцию входных процессов. С другой стороны, во второй ситуации обычно интересуются соотношениями между такими, например, как

так что легко предсказать по (этот вопрос кратко обсуждался в разд. 5.1.5). Эта и следующая за ней главы посвящены рядам, находящимся в одинаковом положении по отношению друг к другу. Причинно связанные ряды обсуждаются в гл. 10.