Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 8.1.5. Двумерные процессы авторегрессии и скользящего среднегоПростейший тип двумерного линейного процесса получается, когда функции отклика на единичный импульс
Если
Отметим, что в отличие от примера 2 из разд. 8.1.3 эта взаимная ковариационная функция отлична от нуля как для положительного запаздывания, так и для отрицательного. Двумерные процессы авторегрессии. Для этих процессов функции отлика на единичный импульс
а для дискретного времени — равенствами
где без ограничения общности мы предположим, что процессы имеют нулевые средние значения. Вычисление авто- и взаимных ковариаций непрерывного процесса (8.1.17) с помощью равенств (8.1.15) довольно трудоемко, и его можно проделать изящнее, используя матричные методы, которые будут описаны в гл. 11. Сейчас мы лишь отметим, что авто- и взаимные ковариации процесса (8.1.17) молено записать в виде
где Явные выражения для авто- и взаимных ковариаций дискретного процесса (8.1.18) выводятся очень просто в гл. 11 с помощью теории матриц. Однако их можно также получить рекурсивно с помощью скалярного рекуррентного соотношения для ковариаций, аналогичного соотношению (5.2.43). Так, умножая первое уравнение в (8.1.18) на
или же
Аналогично
Следовательно, значения ковариаций для запаздывания
где
Рис. 8.6. Реализация И теоретическая взаимная корреляционная функция двумерного процесса авторегрессии. Пример 1. С помощью двух независимых множеств случайных нормальных чисел
Значения этого двумерного ряда приведены в Приложении П8.1 и построены на рис. 8.6, где видно, что строение обоих рядов аналогично. Так, оба ряда имеют, как правило, одинаковые знаки, и за пиком или впадиной процесса
причем
Отсюда получаем
Рекуррентные соотношения для корреляций имеют вид
причем Значения корреляционных функций приведены в табл. 8.1, а взаимная корреляционная функция показана на рис. 8.6. Видно, что, в то время как Таблица 8.1. (см. скан) Теоретические корреляции для двумерного процесса авторегрессии (8.1.20) и имеют положительный знак. Это объясняет упоминавшуюся выше тенденцию онережения процессом Пример 2. В качестве второго примера двумерного линейного процесса рассмотрим процесс
где
Действуя так же, как и выше, можно вывести следующие рекуррентные соотношения для ковариаций:
причем
и
Решая уравнения (8.1.24) и подставляя решения в рекуррентные соотношения (8.1.23), можно вычислить ковариации. Нормируя их, получаем корреляции этого процесса (они приведены в табл. 8.2). Взаимная корреляционная функция имеет весьма широкий пик, центр которого соответствует величине запаздывания 10, как и следовало ожидать из-за задержки в 10 единиц между процессами Таблица 8.2. (см. скан) Теоретические корреляции для двумерного линейного процесса с задержкой (8.1.22) Двумерные процессы авторегрессии — скользящего среднего. Более общий двумерный процесс можно получить, если к членам авторегрессии добавить члены скользящего среднего. Например, взяв комбинацию моделей (8.1.16) и (8.1.18), получим дискретный процесс
Как уже отмечалось выше, для сжатого математического описания такие процессы удобнее всего записывать в матричной форме. Мы отложим более общее рассмотрение их свойств до гл. 11.
|
1 |
Оглавление
|