8.1.5. Двумерные процессы авторегрессии и скользящего среднего

Простейший тип двумерного линейного процесса получается, когда функции отклика на единичный импульс равны нулю вне некоторого интервала. Рассмотрим, например, дискретный процесс

Если — некоррелированные процессы белого шума с дисперсиями то взаимная ковариационная функция двумерного процесса равна

Отметим, что в отличие от примера 2 из разд. 8.1.3 эта взаимная ковариационная функция отлична от нуля как для положительного запаздывания, так и для отрицательного.

Двумерные процессы авторегрессии. Для этих процессов функции отлика на единичный импульс в (8.1.14) не обращаются в нуль вне какого-то ни было конечного интервала. Можно, например, определить непрерывный процесс первого порядка, который будет обобщением процесса (5.2.24). Так если и -процессы белого шума, коррелированные только в одинаковые моменты времени, то двумерный процесс авторегрессии для непрерывного времени определяется с помощью равенств

а для дискретного времени — равенствами

где без ограничения общности мы предположим, что процессы имеют нулевые средние значения.

Вычисление авто- и взаимных ковариаций непрерывного процесса (8.1.17) с помощью равенств (8.1.15) довольно трудоемко, и его можно проделать изящнее, используя матричные методы, которые будут описаны в гл. 11. Сейчас мы лишь отметим, что авто- и взаимные ковариации процесса (8.1.17) молено записать в виде

где — некоторые функции от Интересно, что автокорреляционная функция двумерного процесса первого порядка имеет такой же вид, что и корреляционная функция (5.2.35) одномерного процесса авторегрессии второго порядка.

Явные выражения для авто- и взаимных ковариаций дискретного процесса (8.1.18) выводятся очень просто в гл. 11 с помощью теории матриц. Однако их можно также получить рекурсивно с помощью скалярного рекуррентного соотношения для ковариаций, аналогичного соотношению (5.2.43). Так, умножая первое уравнение в (8.1.18) на и беря математические ожидания от обеих частей равенства, мы получим

или же

Аналогично

Следовательно, значения ковариаций для запаздывания легко получаются из значений для запаздывания Чтобы начать этот процесс, нужно знать значения для Их можно получить, возводя в квадрат и перемножая равенства (8.1.18) и беря затем математические ожидания. Таким образом, мы получаем

где Значения можно при этом выразить через известные параметры решая приведенные выше уравнения.

Рис. 8.6. Реализация И теоретическая взаимная корреляционная функция двумерного процесса авторегрессии.

Пример 1. С помощью двух независимых множеств случайных нормальных чисел для которых выполняются условия была получена состоящая из членам реализация процесса

Значения этого двумерного ряда приведены в Приложении П8.1 и построены на рис. 8.6, где видно, что строение обоих рядов аналогично. Так, оба ряда имеют, как правило, одинаковые знаки, и за пиком или впадиной процесса через одно или два наблюдения обычно следует пик или соответственно впадина процесса Чтобы объяснить такое поведение, необходимо вычислить авто- и взаимные корреляционные функции этого двумерного процесса. С помощью описанной выше процедуры получаем рекуррентные соотношения для ковариаций:

причем

Отсюда получаем

Рекуррентные соотношения для корреляций имеют вид

причем

Значения корреляционных функций приведены в табл. 8.1, а взаимная корреляционная функция показана на рис. 8.6. Видно, что, в то время как очень мало, велики

Таблица 8.1. (см. скан) Теоретические корреляции для двумерного процесса авторегрессии (8.1.20)

и имеют положительный знак. Это объясняет упоминавшуюся выше тенденцию онережения процессом процесса на одно-два наблюдения. Рассматривая рис. 8.6, можно обнаружить также, что взаимная корреляционная функция имеет определенную периодичность, период которой равен примерно 10, т. е. частота равна 0,1 гц. Отсюда следует, что любой участок одного из процессов будет с некоторым искажением повторен другим процессом, т. е. вызовет его резонанс. Из рис. 8.6 видно, что чаще всего повторяются периодичности с периодом около 10.

Пример 2. В качестве второго примера двумерного линейного процесса рассмотрим процесс

где

— некоррелированные процессы белого шума с единичной дисперсией. Это пример модели (8.1.6), рассматривавшейся в разд. 8.1.3. Таким образом, процесс получается в результате пропускания процесса через линейный фильтр и добавления шума, который не является белым. Отметим, что имеется начальная задержка, равная 10 единицам, перед тем как процесс начинает влиять на

Действуя так же, как и выше, можно вывести следующие рекуррентные соотношения для ковариаций:

причем

и

Решая уравнения (8.1.24) и подставляя решения в рекуррентные соотношения (8.1.23), можно вычислить ковариации. Нормируя их, получаем корреляции этого процесса (они приведены в табл. 8.2). Взаимная корреляционная функция имеет весьма широкий пик, центр которого соответствует величине запаздывания 10, как и следовало ожидать из-за задержки в 10 единиц между процессами .

Таблица 8.2. (см. скан) Теоретические корреляции для двумерного линейного процесса с задержкой (8.1.22)

Двумерные процессы авторегрессии — скользящего среднего. Более общий двумерный процесс можно получить, если к членам авторегрессии добавить члены скользящего среднего. Например, взяв комбинацию моделей (8.1.16) и (8.1.18), получим дискретный процесс

Как уже отмечалось выше, для сжатого математического описания такие процессы удобнее всего записывать в матричной форме. Мы отложим более общее рассмотрение их свойств до гл. 11.