7.2.4. Стягивание окна

Метод стягивания окна состоит в вычислении нескольких сглаженных выборочных спектральных оценок сначала для широкой полосы частот, а затем для все более и более узких. Первая цель такого подхода заключается в той гибкости, которую он дает. При этом любую существенную особенность спектра, интересующую нас с практической точки зрения или же выявившуюся в процессе анализа, можно затем исследовать подробнее.

Этот метод позволяет узнать многое о форме спектра. Так, выбранная первоначально широкая полоса частот окна обычно будет скрадывать некоторые детали в спектре. Сужая полосу частот, можно исследовать более тонкие детали. Наконец, как указывалось в разд. 7.2.2, когда ширина полосы частот становится уже самой узкой существенной детали спектра, нет никакого смысла стягивать полосу частот еще дальше. При этом, однако, возникают практические вопросы интерпретации, связанные с неустойчивостью выборочных оценок. Эти вопросы обсуждаются ниже.

Поскольку некоторые записи содержат мало информации о спектре точно так же, как некоторые функции правдоподобия дают мало информации о параметре и не имеют слабо выраженного максимума, этот метод дает возможность выбрать наилучшую полосу частот, соответствующую имеющейся записи. Важный практический вопрос состоит в том, когда остановить процесс стягивания полосы частот, т. е. когда следует окончить поиск дальнейших деталей спектра, с тем чтобы удержать устойчивость. В ответ на этот вопрос нельзя дать никаких строгих рекомендаций, так как наилучший момент остановки будет зависеть от таких факторов, как степень детализации спектра, количество имеющейся априорной информации относительно и определяемая неустойчивостью возможность отличия действительных деталей от выборочных флуктуаций. Тем не менее можно различить три типа ситуаций, встречающихся на практике.

1. Иногда можно стянуть полосу частот настолько, что большинство существенных деталей выявится до того, как мы дойдем до неустойчивости. В этом случае, начиная с некоторого момента, не должно происходить существенных изменений в спектре, несмотря на дальнейшее заметное уменьшение полосы частот. Такой благоприятный случай показан на рис. 7.3, где изображены выборочные спектральные оценки процесса авторегрессии первого порядка. Видно, что при уменьшении полосы частот в 4 раза (что соответствует изменению от 4 до 16) происходят лишь незначительные изменения формы спектра. Можно считать, что удовлетворительная выборочная оценка спектра в интервале частот от О до 0,375 гц получается при однако в окрестности пика требуется большее значение скажем

2. В некоторых случаях выясняется, что выборочная оценка спектра не сходится ни в каком смысле к устойчивому значению. Пример такой ситуации изображен на рис. 7.8, где показаны выборочные оценки спектра процесса авторегрессии, сосчитанные по членам. Выборочная оценка при сравнительно плавная, однако невозможно понять, вызваны ли существенные изменения в спектре при переходе от неустойчивостью или же выявлением новых деталей спектра. Поэтому, вероятно, следовало бы считать, что выборочная оценка при показывает крупные детали спектра, но для выявления более тонких деталей требуются более длинные ряды. Заметим, впрочем, что выборочная оценка спектра при содержит много полезной информации, и, следовательно, спектральный анализ никоим образом не является бесполезным.

3. Обычно ситуация представляет собой нечто среднее между случаями 1 и 2. Рассмотрим, например, показанные на рис. 7.4 выборочные спектральные оценки процесса авторегрессии первого порядка с Отметим, что при появляются вполне определенные пики на частотах гц — 0,44 гц. Не зная структуры этого процесса, возможно, было бы соблазнительно принять эти пики за действительные, поскольку выборочная оценка имеет приблизительно 17 степеней свободы. Эти пики становятся еще более определенными при так что имеется некоторое сомнение относительно того, когда следует остановить процесс стягивания окна. Аналогичные замечания справедливы и для выборочных оценок, показанных на рис. 7.6.

Все эти ситуации характеризуются тем, что сначала выборочные оценки проявляют тенденцию к сходимости, но затем из-за неустойчивости начинают расходиться, прежде чем можно сделать определенные выводы. Так как невозможно сказать, какая из этих, выборочных оценок спектра ближе к истине, то мы предлагаем изображать три выборочные оценки, соответствующие тем точкам отсечения, где после сходимости появляется расходимость. Важно,

однако, помнить, что при стягивании полосы частот выборочная спектральная оценка становится полиномом от все более и более высокой степени, что облегчает появление ложных пиков. В пределе, когда выборочная оценка стремится к несглаженному выборочному спектру, можно получить ложные пики всюду. Поэтому требуется некоторая осторожность при интерпретации выборочных спектральных оценок. Наконец, спектр должен иметь физический смысл, в противном случае анализ не представляет собой большой ценности. Короче говоря, основная цель стягивания окна состоит в том, чтобы использовать понимание физической сущности явления в процессе оценивания и интерпретации спектров.