11.1.3. Матрица ковариаций комплексного случайного процесса
В разд. 8.2.1 было показано, что при спектральном анализе нескольких временных рядов появляются комплексные случайные величины, например случайная оценка, соответствующая выборочному взаимному спектру двух процессов. Хотя можно обойтись действительными величинами, рассматривая отдельно синфазную и сдвинутую по фазе компоненты, большее математическое изящество достигается при их совместном использовании как вещественной и мнимой частей некоторой комплексной величины. В этом разделе излагается исчисление комплексных случайных величин.
Среднее значение и ковариация комплексных случайных величин. Комплексная случайная величина определяется равенством
где 
— действительные случайные величины. С помощью (3.2.15) находим среднее значение этой комплексной величины
Ковариация двух комплексных случайных величин определяется равенством
где звездочки обозначают комплексное сопряжение. Мы видим, что ковариация комплексных величин будет, вообще говоря, комплексным числом, но дисперсия — всегда действительное число, так как
Ковариация двух действительных величин симметрична, в то время как ковариация комплексных величин удовлетворяет соотношению
которое получается непосредственно из определения (11.1.24).
Матрица ковариаций комплексных случайных величин. Предположим, что 
- вектор-строка, состоящая из
комплексных случайных величин. Тогда матрица ковариаций этих величин имеет вид
Из (11.1.26) следует, что матрица 
— эрмитова, а, кроме того, она положительно полуопределенна, т. е. все главные миноры 
неотрицательны. Например, при 
имеем
откуда
Таким образом, 
похож на квадрат коэффициента корреляции и называется квадратом коэффициента когерентности двух комплексных величин.
Авто- и взаимные ковариационные функции комплексных процессов. Предположим, что средние значения комплексных процессов 
равны 
соответственно. Тогда автоковариационные функции этих процессов определяются равенствами
а их взаимная ковариационная функция
Из (11.1.26) следует, что
Для действительных процессов (11.1.30) сводится к равенствам
что совпадает с формулами (8.1.2) и (8.1.3), приводившимися ранее,
С помощью (11.1.24) авто- и взаимные ковариации комплексных процессов можно выразить через ковариации соответствующих действительных процессов. Таким образом, мы получаем
Спектры и взаимные спектры комплексных процессов. Рассуждения, приведенные для действительных процессов в разд. 6.2.1 и 8.3.3, полностью применимы и к комплексным процессам. Таким образом, взаимный спектр комплексного процесса определяется равенством
Автоспектр комплексного процесса является действительной и неотрицательной функцией, но она не является, вообще говоря, четной, и, следовательно, ее нельзя записать в виде косинус-преобразования от ковариационной функции на полуоси в силу свойства (11.1.30). Для действительных процессов такое представление автоспектра в виде косинус-преобразования (7.1.3) имеет место в силу свойства (11.1.31).
Взаимный спектр двух комплексных процессов обладает теми же свойствами, что и взаимный спектр двух действительных процессов (эти свойства указаны в разд. 8.3.3).
