11.3. МНОГОМЕРНЫЙ АНАЛИЗ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ

В гл. 9—10 мы видели, что анализ взаимных спектров и оценивание частотных характеристик представляют собой распространение обычного корреляционного и регрессионного анализов на частотную область. Точно так же многомерный спектральный анализ и оценивание многомерных частотных характеристик представляют собой распространение идей анализа множественных корреляций и многомерного статистического анализа на частотную область. В этом разделе мы дадим обзор основных понятий множественной корреляции и множественного регрессионного анализа. Предполагается, что читателю полностью известен метод наименьших квадратов, изложенный в Приложении П4.1.

11.3.1. Множественный регрессионный анализ, единственный выходной процесс

Модель. Рассмотрим частный случай многомерной динамической модели (11.2.10), когда имеется только один выход, и предположим, что отклик системы на импульс затухает столь быстро, что ее можно эффективно описать с помощью установившихся усилений. Тогда после соответствующего изменения обозначений равенство (11.2.10) можно записать в виде

где — шум. Как отмечалось в разд. 4.3.4, из регрессионных переменных полезно вычесть их средние значения для того, чтобы при использовании метода наименьших квадратов оценки параметров оказались некоррелированными с оценкой среднего уровня

Нормальные уравнения. Предполагая, что шум белый и что наблюдения производятся в моменты , получаем, согласно (П4.1.7), следующую систему нормальных уравнений:

где

С помощью выборочных оценок ковариаций

уравнения (11.3.2) можно записать в виде

где — матрица ковариаций входов, — вектор взаимных ковариаций между входами и выходом.

Пример. При модель (11.3.1) имеет вид

и оценочные уравнения (11.3.5) записываются следующим образом: