7.3.5. Цифровая фильтрация

Иногда в результате предварительного исследования (например, пробного анализа или визуальной проверки) становится ясно, что спектр очень плохой. Под этим подразумевается, что большая часть мощности сосредоточена в одной или нескольких узких полосах. Из-за утечки мощности в боковые лепестки спектральных окон такие пики могут сильно исказить выборочные спектральные оценки в тех местах, где мощность невелика. Поэтому для улучшения выборочных оценок на этих частотах может оказаться полезной цифровая фильтрация данных,

Цифровая фильтрация — это просто преобразование набора входных данных в набор выходных данных с помощью линейного соотношения вида

где — подходящим образом выбранные веса. Заметим, что необязательно требовать условия «физической осуществимости», из которого следует Таким образом, фильтр (7.3.5) может использовать как значения слева от («прошлые» значения так и значения справа от («будущие» значения х). Как показано в гл. 2, передаточная функция цифрового фильтра (7.3.5) равна

где использовано обозначение -преобразования.

Подставляя в получим частотную характеристику фильтра. Частный случай такого фильтра, который в дальнейшем нам понадобится, получается при Для таких симметричных фильтров частотная характеристика равна

Таким образом, фазовый сдвиг между входом и выходом будет равен либо нулю, либо поскольку (7.3.7) не имеет мнимой части.

Функция усиления получается, если взять модуль от в (7.3.6).

В разд. 7.3.2 мы отмечали, что пробное оценивание спектра мощности заключается в применении подходящих цифровых фильтров к временному ряду с последующим возведением в квадрат выходных значений этих фильтров. Одно из первых применений цифровые фильтры нашли при сглаживании временных рядов. Так, например, иногда сглаживают экономические временные ряды, чтобы снизить влияние краткосрочных (высокочастотных) флуктуаций и, таким образом, сделать возможным изучение трендов экономических величин.

Примеры цифровых фильтров. Сейчас мы определим некоторые простые цифровые фильтры и обсудим их свойства. Для простоты предположим, что в этих примерах интервал дискретизации по времени А равен единице.

1. Сглаживание тройками. Временной ряд можно «сгладить тройками», группируя наблюдения следующим образом:

Если веса равны, эта формула становится симметричной

откуда получаем передаточную функцию

Частотная характеристика равна

Отсюда функция усиления и фазовая характеристика имеют вид

2. Суммирование. Рассмотрим суммирующий фильтр

Передаточная функция этого фильтра равна

откуда получаем частотную характеристику

Функция усиления и фазовая характеристика имеют вид

Таким образом, этот фильтр действует как низкочастотный.

5. Взятие разностей. Разностный фильтр определяется формулой

и имеет частотную характеристику

Функция усиления и фазовая характеристика равны

Следовательно, разностный фильтр действует как высокочастотный. Функция усиления этого фильтра показана на рис. 1.4.

4. Сумморазнсстные фильтры. Рассмотрим теперь фильтр, состоящий из суммирующих и из разностных фильтров. Из (2.3.26) и (2.3.27) полная функция усиления и полная фазовая характеристика равны

и

Отметим, что функция усиления имеет максимум на частоте

Теорема Слуцкого. Если на вход описанного выше сумморазностного фильтра подается процесс со спектром то,

используя формулу (7.3.9), можно получить спектр выходного процесса

С помощью формулы (7.3.10) можно убедиться, что для белого шума, т. е. когда функция стремится при к -функции где

В разд. 6.2.2 было показано, что случайный процесс, спектр которого есть -функция, является синусоидальной или косинусоидальной волной. Таким образом, этот результат показывает, что если белый шум подвергать суммированию и взятию разностей достаточное число раз, то получится синусоидальная волна. Эта теорема принадлежит Слуцкому [11], который отмечал, что в некоторых случаях периодическое или квазипериодическое поведение экономических временных рядов объясняется процедурой сглаживаний, примененных к этим рядам.

5. Фильтры для пробного спектрального анализа. Фильтры, использованные в разд. 7.3.2 для пробного анализа, получаются из операций суммирования и взятия разностей с подходящими задержками. Например, передаточная функция фильтра, соответствующего сумме квадратов из разд. 7.3.2, равна

откуда функция усиления имеет вид

Аналогичные выражения можно получить и для других фильтров. Как отмечалось в разд. 7.3.2, фильтр, соответствующий имеет максимум на частоте гц и обращается в нуль первый раз при гц. Следовательно, величину на выходе этого фильтра нужно распределить, грубо говоря, по интервалу от 0,25 до 0,5 гц, если требуется выборочная оценка мощности в этом интервале.

6. Фильтры типа скользящего среднего — авторегрессии. Обобщением описанных выше фильтров являются фильтры типа скользящего среднего — авторегрессии, определяемые соотношением

Основное отличие этого фильтра от предыдущих состоит в том, что выход зависит как от входных значений, так и от других

выходных значений, т. е. эти фильтры используют обратную связь. Передаточная функция фильтра (7.3.11) равна

Фильтры этого вида обладают большей гибкостью, чем описанные выше, а также более экономичны в том смысле, что хорошее приближение к заданному фильтру можно получить с меньшим числом параметров в правой и левой частях равенства (7.3.11). Этот факт проиллюстрирован на рис. 5.20, где показано, что согласие с данными у процесса авторегрессии второго порядка лучше, чем у процесса скользящего среднего десятого порядка.

Суммирующие и разностные фильтры или их обобщения можно использовать в большей части случаев, когда нужна цифровая фильтрация. Однако если при проектировании фильтра требуется особая тщательность, то параметры в (7.3.11) можно подбирать эмпирическим способом, описанным в [12]. Сначала задается форма требуемого идеального фильтра. Затем параметры ; подбираются так, чтобы минимизировать некоторую величину, характеризующую качество приближения для нескольких выбранных частот. Например, можно было бы минимизировать среднеквадратичную ошибку отклонений фильтра (7.3.11) от идеального фильтра на выбранных частотах. Или же можно было бы минимизировать, как это делается при наилучшем чебышевском приближении, наибольшее расхождение между фильтром (7.3.11) и идеальным фильтром. Такие вычисления нетрудно выполнить с помощью вычислительной машины.

Использование цифровых фильтров. Ниже перечислены некоторые из наиболее важных случаев использования цифровых фильтров.

а. Пробное оценивание спектров. Для этого нужен набор полосовых фильтров, например таких, которые приведены в [13].

б. Сглаживание данных. Эта процедура устраняет высокочастотные осцилляции. Для этого нужен низкочастотный фильтр.

в. Устранение трендов из данных. Для этого нужен высокочастотный фильтр, который можно получить, применяя низкочастотный фильтр и затем выбитая результат низкочастотной фильтрации из исходных данных. Устранение низкочастотного тренда часто является необходимой операцией перед оцениванием спектра. Ниже приводится пример, где из-за невозможности устранить тренды появляется значительное смещение в выборочной спектральной оценке.

г. Разделение временного ряда на компоненты. Часто при изучении соотношений между временными рядами лучше разложить

исходный временной ряд на компоненты

с помощью набора полосовых фильтров. Например, из предварительных сведений может возникнуть предположение, что низкочастотные компоненты, содержащиеся в можно лучше предсказать по низкочастотным компонентам, содержащимся в некотором другом ряде чем по самим рядам или Поэтому каждый ряд в (7.3.12) можно использовать по отдельности для дальнейшего анализа. Применение такого подхода при анализе метеорологических временных рядов изложено в [14], а при анализе экономических рядов — в [13].

Биномиальные фильтры. Особенно простой набор фильтров, который можно использовать для этой цели, приведен в [15]. В этом наборе используются введенные ранее суммирующие и разностные фильтры. С помощью -преобразований разложение на компоненты можно записать в виде

Таким образом, временной ряд можно расфильтровать на временной ряд с помощью фильтров, причем передаточная функция фильтра равна

Следовательно, выход этого фильтра получится, если исходный сигнал пропустить через суммирующих фильтров и разностных фильтров, а затем умножить на коэффициент

Из (7.3.10) следует, что фильтр имеет пик на частоте

Например, при пики расположены на частотах 0; 0,167; 0,25; 0,417; 0,5 гц.

Пример цифровой фильтрации. Этот пример относится к оцениванию спектра отраженного радиолокационного сигнала и

описан подробнее в [16]. По техническим причинам при измерении отраженного сигнала нельзя отделить эффект, вызванный рысканьем самолета, за которым следит радиолокатор. На рис. 7.18 показан участок записи, где рысканье достигает экстремума и намного превышает высокочастотный шум, спектр которого нужно проанализировать.

Рис. 7.18. Исходный и отфильтрованный отраженный радиолокационные сигналы.

С этой записи были взяты отсчеты в 320 точках и отфильтрованы с помощью симметричного фильтра (7.3.5) со следующими весами:

где Значения в скобках совпадают со значениями окна Тьюки из табл. 6.5; они нормируются так, что их сумма равна единице, и вычитаются из весов, дающих тождественное преобразование, чтобы получился высокочастотный фильтр.

Отфильтрованный ряд показан на рис. 7.18 вверху, и мы видим, насколько эффективно устранил фильтр низкие частоты.

Были вычислены выборочные ковариационные функции исходного и отфильтрованного рядов, и затем с помощью окна Бартлетта получены выборочные спектральные оценки при разных значениях точки отсечения Выборочные оценки спектра отфильтрованного ряда переставали изменяться, когда достигало значения 30, в то время как для исходного ряда потребовались гораздо большие значения Чтобы сравнить эти два спектра на высоких частотах, на рис. 7.19 приведены выборочные

спектральные оценки обоих рядов при одном и том же Мы видим, что на высоких частотах исходный ряд дает оценку в 10 раз больше, чем отфильтрованный. Это происходит из-за того, что в исходном ряде мощность на низких частотах очень велика, и происходит ее утечка в высокочастотную часть выборочной оценки, приводящая к большим смещениям.

Имелось несколько записей такого типа с различными степенями рысканья, в том числе и такие, на которых эффекта рысканья совсем не было видно.

Рис. 7.19. Выборочные спектральные (не нормированные) оценки исходного и отфильтрованного радиолокационных сигналов.

После того как записи, содержавшие эффект рысканья, были отфильтрованы до оценивания спектров, получилось хорошее согласие со спектрами, оцененными по записям без рысканья.