8.3. ВЗАИМНЫЙ СПЕКТР

В этом разделе мы рассмотрим описание двумерных временных рядов в частотной области. Будет показано, что обсуждавшаяся в предыдущем разделе выборочная взаимная ковариационная функция имеет преобразование Фурье, называемое выборочным взаимным спектром. Этот спектр является комплексно-значной функцией, которую можно записать в виде произведения действительной функции, называемой выборочным взаимным амплитудным спектром, и комплексно-значной функции, называемой выборочным фазовым спектром. Аналогично преобразование Фурье теоретической взаимной ковариационной функции называется взаимным спектром. Его можно представить в виде произведения взаимного амплитудного и фазового спектров. Взаимный амплитудный спектр показывает, как велики амплитуды связанных частотных комнонент в двух рядах на определенной частоте. Аналогично фазовый спектр показывает, насколько запаздывает или опережает по фазе такая компонента в одном из рядов соответствующую компоненту в другом ряде для данной частоты. В следующем разделе приводятся примеры взаимных амплитудных и фазовых спектров, - полученные из взаимного спектра двумерного линейного процесса (8.1.14). Затем вводится несколько более полезное понятие, чем взаимный амплитудный спектр, а именно спектр когерентности. Мы покажем, что спектр когерентности и фазовый спектр дают полное описание двумерного нормального случайного процесса.

8.3.1. Применение анализа Фурье к двумерным временным рядам

Анализ Фурье можно применить к двумерным временным рядам точно так же, как и к одномерным. Предположим, например, что — две косинусоидальные волны одинаковой частоты но с разными амплитудами и фазами т. е.

Если длина имеющихся записей равна Т, то с помощью (2.2.11) получаем преобразование Фурье

Отсюда выборочные спектры (6.1.6) этих двух сигналов равны

Эти выражения при стремятся к

Таким образом, дисперсия, или средняя мощность косинусоидальной волны, равная распределена в виде -функций на частотах

Предположим теперь, что требуется описать ковариацию двух косинусоидальных волн. В таком случае естественно воспользоваться выборочным взаимным спектром мощности, или, короче, выборочным взаимным спектром

где звездочка обозначает комплексное сопряжение. Подставив (8.3.2) в (8.3.3), мы находим, что выборочный взаимный спектр двух косинусоидальных волн равен

что при стремится к

Определение (8.3.3) является естественным, так как оно содержит всю информацию о зависимости двух сигналов. В частном случае косинусоидальных волн равенство (8.3.5) показывает, что эта информация состоит из разности фаз показывающей, насколько одна из косинусоидальных волн опережает другую, и взаимной амплитуды показывающей, как велики на данной частоте соответствующие амплитуды в двух сигналах.

Выборочный фазовый и выборочный взаимный амплитудный спектры. В более общем случае предположим, что произвольные действительные сигналы с преобразованиями Фурье соответственно. Эти преобразования дают амплитудное и фазовое распределение сигналов, т. е.

где -неотрицательная четная функция и -нечетная функция. Согласно (8.3.3), выборочный взаимный спектр в этом случае будет равен

что можно записать также в виде

Следовательно, ковариацию двух рядов можно описать с помощью выборочного фазового спектра

и выборочного взаимного амплитудного спектра

Выборочный фазовый спектр показывает, запаздывает или опережает частотная компонента одного ряда компоненту другого ряда на той же частоте. Аналогично, выборочный взаимный амплитудный спектр показывает, насколько велики в двух рядах амплитуды соответствующих компонент на некоторой частоте. Заметим, что -неотрицательная четная функция, а — нечетная функция частоты.

Выборочный коспектр и квадратурный спектр. Так как функция из (8.3.8) является комплексно-значной, ее можно записать в виде произведения амплитудной и фазовой функций, как в (8.3.7). Выражение (8.3.8) можно записать и в другом виде, выделив вещественную и мнимую части:

Отметим, что — четная, — нечетная функция частоты из-за того, что — четная, - нечетная функция. Для иллюстрации рассмотрим приводившийся выше пример с двумерной косинусоидальной волной.

Можно показать, что в пределе при

Так как сигналы можно записать в виде

то, следовательно, состоит из ковариации двух косинусоидальных компонент и ковариации двух синусоидальных компонент, т. е. измеряет ковариацию синфазных компонент. Поэтому функция называется выборочным синфазным спектром, или выборочным коспектром. Аналогично, функция

состоит из ковариаций между синусоидальными и косинусоидальными компонентами, т. е. между компонентами, сдвинутыми по фазе, или квадратурными. Поэтому называется выборочным квадратурным спектром. Аналогичным образом, для произвольных сигналов преобразования Фурье

и

служат мерами ковариации соответственно синфазных и квадратурных компонент на частоте