Главная > Спектральный анализ и его приложения. Выпуск 2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

8.3. ВЗАИМНЫЙ СПЕКТР

В этом разделе мы рассмотрим описание двумерных временных рядов в частотной области. Будет показано, что обсуждавшаяся в предыдущем разделе выборочная взаимная ковариационная функция имеет преобразование Фурье, называемое выборочным взаимным спектром. Этот спектр является комплексно-значной функцией, которую можно записать в виде произведения действительной функции, называемой выборочным взаимным амплитудным спектром, и комплексно-значной функции, называемой выборочным фазовым спектром. Аналогично преобразование Фурье теоретической взаимной ковариационной функции называется взаимным спектром. Его можно представить в виде произведения взаимного амплитудного и фазового спектров. Взаимный амплитудный спектр показывает, как велики амплитуды связанных частотных комнонент в двух рядах на определенной частоте. Аналогично фазовый спектр показывает, насколько запаздывает или опережает по фазе такая компонента в одном из рядов соответствующую компоненту в другом ряде для данной частоты. В следующем разделе приводятся примеры взаимных амплитудных и фазовых спектров, - полученные из взаимного спектра двумерного линейного процесса (8.1.14). Затем вводится несколько более полезное понятие, чем взаимный амплитудный спектр, а именно спектр когерентности. Мы покажем, что спектр когерентности и фазовый спектр дают полное описание двумерного нормального случайного процесса.

8.3.1. Применение анализа Фурье к двумерным временным рядам

Анализ Фурье можно применить к двумерным временным рядам точно так же, как и к одномерным. Предположим, например, что — две косинусоидальные волны одинаковой частоты но с разными амплитудами и фазами т. е.

Если длина имеющихся записей равна Т, то с помощью (2.2.11) получаем преобразование Фурье

Отсюда выборочные спектры (6.1.6) этих двух сигналов равны

Эти выражения при стремятся к

Таким образом, дисперсия, или средняя мощность косинусоидальной волны, равная распределена в виде -функций на частотах

Предположим теперь, что требуется описать ковариацию двух косинусоидальных волн. В таком случае естественно воспользоваться выборочным взаимным спектром мощности, или, короче, выборочным взаимным спектром

где звездочка обозначает комплексное сопряжение. Подставив (8.3.2) в (8.3.3), мы находим, что выборочный взаимный спектр двух косинусоидальных волн равен

что при стремится к

Определение (8.3.3) является естественным, так как оно содержит всю информацию о зависимости двух сигналов. В частном случае косинусоидальных волн равенство (8.3.5) показывает, что эта информация состоит из разности фаз показывающей, насколько одна из косинусоидальных волн опережает другую, и взаимной амплитуды показывающей, как велики на данной частоте соответствующие амплитуды в двух сигналах.

Выборочный фазовый и выборочный взаимный амплитудный спектры. В более общем случае предположим, что произвольные действительные сигналы с преобразованиями Фурье соответственно. Эти преобразования дают амплитудное и фазовое распределение сигналов, т. е.

где -неотрицательная четная функция и -нечетная функция. Согласно (8.3.3), выборочный взаимный спектр в этом случае будет равен

что можно записать также в виде

Следовательно, ковариацию двух рядов можно описать с помощью выборочного фазового спектра

и выборочного взаимного амплитудного спектра

Выборочный фазовый спектр показывает, запаздывает или опережает частотная компонента одного ряда компоненту другого ряда на той же частоте. Аналогично, выборочный взаимный амплитудный спектр показывает, насколько велики в двух рядах амплитуды соответствующих компонент на некоторой частоте. Заметим, что -неотрицательная четная функция, а нечетная функция частоты.

Выборочный коспектр и квадратурный спектр. Так как функция из (8.3.8) является комплексно-значной, ее можно записать в виде произведения амплитудной и фазовой функций, как в (8.3.7). Выражение (8.3.8) можно записать и в другом виде, выделив вещественную и мнимую части:

Отметим, что — четная, нечетная функция частоты из-за того, что — четная, - нечетная функция. Для иллюстрации рассмотрим приводившийся выше пример с двумерной косинусоидальной волной.

Можно показать, что в пределе при

Так как сигналы можно записать в виде

то, следовательно, состоит из ковариации двух косинусоидальных компонент и ковариации двух синусоидальных компонент, т. е. измеряет ковариацию синфазных компонент. Поэтому функция называется выборочным синфазным спектром, или выборочным коспектром. Аналогично, функция

состоит из ковариаций между синусоидальными и косинусоидальными компонентами, т. е. между компонентами, сдвинутыми по фазе, или квадратурными. Поэтому называется выборочным квадратурным спектром. Аналогичным образом, для произвольных сигналов преобразования Фурье

и

служат мерами ковариации соответственно синфазных и квадратурных компонент на частоте

1
Оглавление
email@scask.ru