8.1.3. Взаимная корреляционная функция линейного процесса

Один из простейших способов, которыми может осуществляться корреляция двух случайных процессов имеет место тогда, когда (-вход линейной системы, состоит из выхода этой системы и шума, т. е.

Для дискретного времени соответствующая модель имеет вид

Пример 1. Как частный случай процесса (8.1.6) рассмотрим простую модель регрессии (4.3.5), которая в наших новых обозначениях имеет вид

Если средине значения равны пулю, то из (8.1.1.) получаем взаимную ковариационную функцию входа и выхода

Если предположить далее, что шум некоррелирован со входом то

т. е. взаимная ковариационная функция отличается лишь на постоянный множитель от автоковариационной фунции входа. В частном случае, когда -белый шум, взаимная ковариационная функция отлична от нуля лишь при и в этом случае

Заметим, что, хотя с первого взгляда кажется, что шум не входит в эти вычисления, тем не менее его влияние сказывается на увеличении дисперсии процесса Таким образом, мы имеем

Следовательно, взаимная корреляционная функция в этом примере равна

Таким образом, корреляция между входом и выходом зависит от отношения сигнал/шум т. е. от отношения дисперсий входа и шума. Если это отношение велико, то близко к единице, а если отношение мало, то шум доминирует и соответственно мало.

Пример 2. В качестве менее тривиального примера рассмотрим процесс

где — некоррелированные процессы белого шума с одинаковой дисперсией

Тогда

Дисперсии этих двух процессов равны

Отсюда взаимная корреляционная функция имеет вид

Если веса в (8.1.6) положительны, то два процесса будут «выглядеть похожими», а взаимная корреляционная функция будет положительной. Наоборот, если веса отрицательны, то эти два процесса будут выглядеть как зеркальные отражения друг друга, т. е. увеличения одного процесса будут сопровождаться уменьшениями другого и наоборот.

Взаимная корреляционная функция произвольного линейного процесса. Общее выражение для взимной корреляционной функции процесса (8.1.5) можно получить, умножая (8.1.5) на и беря математические ожидания от обеих частей равенства. Если средние значения процессов равны нулю, то при условии, что для всех и, взаимная корреляционная функция равна

Ниже нам понадобится выражение для автоковариационной функции выхода. Его можно получить, перемножив почленно два равенства (8.1.5), относящиеся к разным моментам времени, и взяв математические ожидания. Предполагая, что в качестве окончательного результата будем иметь

что является простым обобщением формулы (5.2.9)

Теперь нетрудно получить взаимную корреляционную функцию

где получается из (8.1.9), если положить

Для дискретных процессов формулы, соответствующие (8.1.8), (8.1.9) и (8.1.10), легко получаются из (8.1.6). Таким образом, мы имеем