9.1.3. Общие свойства моментов оценок, соответствующих выборочным взаимным спектрам

В этом разделе мы обобщим результаты разд. 9.1.1 на случай коррелированных процессов, не являющихся белыми шумами. Строгий вывод этих результатов довольно сложен, и мы поместили его в Приложении П9.1. В настоящем же разделе мы воспользуемся эвристическими методами, которые являются обобщением методов, применявшихся в разд. 6.4.1 для одномерных спектров.

Вычисление ковариационной матрицы величин для коррелированных негауссовских процессов проводится в три этапа. Сначала вычисляется ковариационная матрица каждой из этих оценок на двух различных частотах для случая негауссовских некоррелированных белых шумов. Затем можно найти ковариационную матрицу величин . С помощью этой матрицы можно выписать такую же матрицу, но уже для произвольного двумерного процесса. И наконец, из ковариационной матрицы величин получается ковариационная матрица величин Для произвольного процесса.

Обобщенная ковариационная матрица взаимных спектральных оценок для некоррелированных белых шумов. Формулы разд. 9.1.1 были выведены для гармонических частот и для некоррелированных гауссовских белых шумов. В Приложении аналогичные формулы получены в более общем случае: для всех частот и для некоррелированных, негауссовских белых шумов. Из этих формул следует, что

Далее, ковариации оценок на двух частотах можно получить из матрицы

Например, элемент из первой строки и первого столбца равен элемент из первой строки и второго столбца равен Матрица (9.1.12) называется обобщенной ковариационной матрицей оценок. При она переходит в обычную ковариационную матрицу величин . В (9.1.12) использованы следующие обозначения: и

для дискретных процессов. Аналогичным образом и

для непрерывных процессов. Буквами обозначены четвертые кумулянты процессов соответственно (для гауссовских процессов они равны нулю).

Из (9.1.12) видно, что каждая из спектральных оценок некоррелирована с любой другой оценкой на одной и той же или на разных частотах. Кроме того, значения любой из этих оценок на достаточно разнесенных частотах также некоррелированы. Отметим, что при дисперсии оценок не зависят от Т — длины записи. В этом смысле взаимные спектральные оценки обладают теми же нежелательными свойствами, что и оценки автоспектров. Отметим еще, что ковариации оценок коспектра и квадратурного спектра не содержат членов с четвертым кумулянтом, так что они всегда имеют порядок для больших

Обобщенная ковариационная матрица величин . Поскольку

ковариационную матрицу величин нетрудно получить из матрицы (9.1.12). Например,

Окончательное выражение для обобщенной ковариационной матрицы величин имеет вид

Мы воспользуемся сейчас этим выражением, чтобы получить ковариационную матрицу взаимных спектральных оценок для процессов, отличных от белого шума. Отметим, что если расстояние между частотами и не является достаточно малой величиной, то все эти ковариации приблизительно равны нулю.

Обобщенная ковариационная матрица взаимных спектральных оценок для произвольных процессов. Воспользуемся теперь тем, что двумерный случайный процесс с произвольными спектрами мощности можно получить, пропуская два процесса белого шума через цепь, состоящую из четырех линейных систем (разд. 8.1.4). Таким образом, беря преобразования Фурье от равенств (8.1.14) и делая те же приближения, что и в (6.4.3), получаем

где - преобразование Фурье от на интервале Отсюда получаем

Следовательно, воспользовавшись (8.4.17), мы будем иметь

Ковариационная матрица величин легко получается из равенств (9.1.16) — (9.1.18) и из ковариационной матрицы (9.1.15). Например, учитывая, что ковариационная матрица приблизительно равна нулю для всех частот, кроме получаем из (9.1.16) и (9.1.17)

Члены малы по сравнению с и ими можно пренебречь. Воспользовавшись для приближенным равенством и записывая в виде получаем

Поэтому, опуская аргумент обобщенную ковариационную матрицу величин на частотах для произвольного процесса можно записать в виде

Выражение (9.1.22) для ковариационной матрицы спектральных оценок приведено в [1, 2]. Оно справедливо для очень малых значений Если разность частот больше то эти ковариации приблизительно равны нулю. Более строгий вывод этих формул приводится в Приложении П9.1. Отметим одно

обстоятельство, которое нам пригодится впоследствии: стремится к для непрерывных процессов и к для дискретных процессов при очень больших Г.