9.2. СВОЙСТВА СГЛАЖЕННЫХ ОЦЕНОК ВЗАИМНЫХ СПЕКТРОВ
9.2.1. Сглаженные оценки взаимных спектров
В разд. 9.1.3 было показано, что выборочные оценки взаимных спектров обладают тем же нежелательным свойством, что и выборочный автоспектр: главный член их дисперсии не стремится к нулю с увеличением длины записи. Поэтому оценки взаимных спектров необходимо сгладить с помощью спектрального окна точно так же, как нужно было сгладить оценки автоспектров.
Сглаженная сценка взаимного спектра определяется следующим образом:
где корреляционное окно 
обладает обычными свойствами (6.3.29). Разлагая 
на четную и нечетную части [см. (8.3.19), (8.3.20)], получаем
где 
— сглаженные сценки коспектра и квадратурного спектра.
Математическое ожидание сглаженных оценок взаимных спектров. Оценка, соответствующая выборочному взаимному спектру 
определяется следующим образом:
Ее математическое ожидание можно найти с помощью (8.3.21)
Последнее выражение можно переписать в виде
Приближенное равенство в (9.2.3) справедливо из-за того, что при большом Т спектральное окно становится очень узким. Таким образом, с хорошей степенью приближения можно считать, что 
является несмещенной оценкой 
Взяв математическое ожидание от обеих частей (9.2.1) и воспользовавшись равенствами (8.3.21) и (9.2.3), получим среднее значение сглаженной оценки взаимного спектра:
Функцию 
назовем средним сглаженным взаимным спектром. Так как 
то средние сглаженные коспектры и квадратурный спектр можно записать в виде
и
Равенства (9.2.4) — (9.2.6) по биду Похожи на равенства (6.3.35) — (6.3.37) для математического ожидания оценки автоспектра. Однако имеется и существенное отличие, состоящее в том, что авто-ковариационная функция 
в (6.3.37) является четной. Поэтому можно ожидать, что если 
достаточно быстро при 
То смещение 
также будет стремиться к нулю весьма быстро с увеличением значения М точки отсечения корреляционного окна. Для оценки взаимного спектра
ситуация меняется, так как взаимная корреляционная функция не является четной. Таким образом, в том крайнем случае, когда один процесс в точности повторяет другой, но с некоторой задержкой 
во времени, взаимная корреляционная функция будет равна автокорреляционной функции, сдвинутой по времени на величину т. Из-за этого среднее значение (9.2.4) сглаженной оценки взаимного спектра будет иметь заметное смещение, если точка отсечения М меньше задержки т. При этом, если 
велико, то при 
значения корреляционного окна 
будут малы. Поэтому для того, чтобы смещение было невелико, потребуются очень большие значения точек отсечения. Мы продемонстрируем этот эффект в разд. 9.3. Там же будет показано, что от такого нежелательного эффекта можно избавиться с помощью выравнивания двух рядов, после которого их взаимная корреляционная функция принимает максимальное значение при малом значении аргумента.
Ковариационная матрица сглаженных оценок взаимных спектров и автоспектров. Используя свойство свертки (П2.1.8), сглаженную оценку взаимного спектра (9.2.1) можно записать в другом виде:
Отсюда
Ковариационную матрицу сглаженных спектральных оценок можно вывести с помощью матрицы (9.1.22). Например, для больших Т из (9.1.22) следует, что
Отсюда
Предполагая, что 
мало меняется в полосе спектрального окна, и делая в (9.2.9) замену 
получаем
При 
равенство (9.2.10) сводится с помощью (6.4.13) к
Аналогичные выражения можно получить и для других спектральных оценок.
Таким образом, эффект сглаживания состоит в уменьшении дисперсий и ковариаций несглаженных оценок в 
раз. Следовательно, ковариационная матрица сглаженных оценок получается из ковариационной матрицы (9.1.22) несглаженных оценок с помощью замены множителя 
на 
. Более строгий вывод этих результатов приведен в приложении П9.1.
Сама ковариационная матрица сглаженных спектральных оценок непосредственно не представляет особого интереса. Она нужна лишь как промежуточная ступень при выводе ковариационной матрицы сглаженных оценок взаимного амплитудного спектра, спектра когерентности и фазового спектра. Эта последняя матрица выводится в следующем разделе.
