8.1.2. Взаимная ковариационная и взаимная корреляционная функции

Так же, как и в одномерном случае в гл. 5, полезное средство описания пары случайных процессов дают их младшие моменты. Как и раньше, наблюденный двумерный временной ряд рассматривается как реализация двумерного случайного процесса Четыре случайные величины в моменты времени и и будут иметь совместную плотность вероятности, которую можно описать (хотя и неполностью) ее моментами первого и второго порядков. Если предположить, что процессы стационарны, то эти моменты будут зависеть лишь от разности моментов времени и и не будут зависеть от Таким образом, первые моменты будут равны

Они не зависят от времени Вторыми моментами совместной плотности вероятности будут автоковариационные функции

и взаимные ковариационные функции

Функция называется взаимной ковариационной функцией, зависящей от запаздывания и, причем процесс запаздывает относительно процесса Аналогично называется взаимной ковариационной функцией для запаздывания процесса относительно процесса В тех случаях, когда нет никакого риска спутать обозначения, мы будем записывать функции более простыми обозначениями

Свойства ковариационных функций. Автоковариационные функции действительного двумерного процесса обладают темн же самыми свойствами, что и ковариационная функция одномерного процесса, т. е.

Таким образом, являются четными функциями запаздывания .

Взаимная ковариационная функция двух действительных процессов имеет следующее свойство:

так как

Аналогично Таким образом, ковариацию двух случайных процессов можно описать одной взаимной ковариационной функцией где Отметим, что, в то время как автоковариационная функция является четной, взаимная ковариационная функция в общем случае не будет четной функцией.

Взаимная корреляционная функция. В общем случае приходится изучать взаимодействие двух процессов с различными масштабами измерения, или с различными дисперсиями. В таком случае необходимо определить взаимную корреляционную функцию

Первое ее свойство заключается в том, что

Это следует из того, что дисперсия случайной величины

неотрицательна. Второе свойство состоит в том, что

Это следует из (8.1.3).

Взаимная корреляционная функция подобно ковариационной не является в общем случае четной функцией. Рассмотрим, например, на рис. 8.4 выборочную взаимную корреляционную функцию данных о газовой печи, приведенных на рис. 8.3. Эта функция имеет большой пик при и явно несимметрична относительно Отметим также, что большинство взаимных корреляций положительно. Это объясняется тем, что увеличение скорости впуска газа приводит к увеличению концентрации на выходе и наоборот.

Самый тривиальный случай взаимной корреляции двух случайных процессов имеет место, когда взаимная корреляционная функция тождественно равна нулю для всех запаздываний. Отсюда следует, что такие процессы полностью некоррелированы.

Если в дополнение к этому процессы нормальные, то они будут также и независимыми, как показано в гл. 3.

Другой простой случай взаимной корреляции имеет место, когда отлична от нуля при и равна нулю для остальных запаздываний. Отсюда следует, что у этих случайных процессов коррелированы только одновременные значения.

Рис. 8.4. Выборочная взаимная корреляционная функция для данных о газовой печи

Более общие модели взаимной корреляции двух случайных процессов будут приведены в разд. 8.1.3 и 8.1.4.