ПРИЛОЖЕНИЕ П11.1. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И ВЕКТОРЫ
Собственные значения 
и соответствующие правосторонние собственные векторы 
матрицы А по определению должны удовлетворять уравнению
Уравнения (П11.1.1) можно записать в скалярной форме:
Геометрически (П 11.1.1) означает, что в 
-мерном векторном пространстве векторы 
инвариантны при линейном преобразовании А. Инвариантным правосторонним векторам Г; соответствует двойственная, или сопряженная, система векторов 
удовлетворяющих левосторонним уравнениям
Можно показать, что левосторонние векторы ортогональны к правосторонним. Умножая справа (П 11.1.2) на 
получаем
Отсюда с помощью (П 11.1.1)
Предполагая, что собственные значения различны, отсюда получаем
При соответствующей нормировке векторов будем иметь
т. е. правосторонние и левосторонние векторы ортонормальны. Если собственные векторы объединить в матрицы 
и 
у которых столбцы образованы соответственно левосторонними и правосторонними векторами матрицы А, то приведенные выше условия ортонормальности можно записать в виде
где I — единичная матрица, имеющая на главной диагонали единицы, а на остальных местах нули.
Симметричные матрицы. Матрица ковариаций набора действительных случайных величин действительна и симметрична. Поэтому ее собственные значения действительны, собственные векторы ортогональны и, следовательно, матрицы 
и 
являются ортогональными. Из последнего свойства следует, что различные векторы, инвариантные при преобразовании, ортогональны. Чтобы показать это, удобно записать равенства 
в матричной форме
где 
— диагональная матрица, образованная собственными значениями. Аналогично,
Транспонируя матрицы в 
и пользуясь тем, что 
получаем
Сравнивая это равенство с 
находим
переходит в
т. е. собственные векторы ортогональны. Отсюда, умножая 
слева на 
получаем
Геометрический смысл равенства 
для симметричной А состоит в том, что квадратичная форма
задает в многомерном пространстве поверхность эллипсоида, оси которого проходят через начало координат. После преобразования
равенство 
переходите
т. е.
или
Следовательно, эллипсоид преобразуется к каноническому виду с помощью преобразования 
а собственные значения равны квадратам обратных длин главных осей эллипсоида.
