8.4.2. Взаимный спектр линейной системы
В разд. 8.1.3 отмечалось, что иногда два случайных процесса 
связаны линейным соотношением вида
Таким образом, 
является входным процессом линейной системы, 
представляет собой соответствующий выход, сложенный с независимым шумом 
Из (8.1.8) находим взаимную ковариационную функцию выхода
Взяв преобразование Фурье от (8.4.3), получаем
Отсюда находим частотную характеристику
Сравнивая (8.4.3) с (8.4.4), мы видим, что изучение линейных систем легче проводить с помощью методов Фурье. Так, свертка из (8.4.3) переходит в произведение в (8.4.4). Переписывая (8.4.5) в виде
получаем следующие выражения для коэффициента усиления 
и фазы 
линейной системы:
Вспоминая, что взаимная амплитуда 
есть мера «ковариации» между 
на частоте 
а 
-«дисперсия» входа на этой же частоте, мы видим, что усиление 
играет роль коэффициента регрессии (4.3.7), но теперь он оценивается на каждой частоте.
Квадрат спектра когерентности. Эту аналогию можно продолжить дальше с помощью соотношения (8.1.9) для автоковариации
выхода, а именно
Взяв преобразование Фурье от этого равенства, получаем
Это выражение отличается от (6.2.15) только тем, что к выражению, полученному из входного процесса, добавляется спектр шума 
Подставляя (8.4.6) в (8.4.8), получаем
или
где
называется квадратом коэффициента когерентности между входом и выходом на частоте 
Функция частоты 
называется квадратом спектра когерентности.
Следует отметить сходство между (8.4.9) и уравнением (3.2.19), содержащим обычный коэффициент корреляции. Фактически коэффициент когерентности играет роль коэффициента корреляции, определенного для каждой частоты 
Таким образом, равенство (8.4.9) показывает, что когда спектр шума совпадает с выходным спектром, то коэффициент когерентности равен нулю. Другими словами, этот коэффициент равен нулю, если выход состоит из одного шума. Наоборот, если 
то квадрат коэффициента когерентности равен единице, а выходной спектр просто равен входному, умноженному на квадрат коэффициента усиления системы. Исключая 
из (8.4.8) и (8.4.10), получаем
Равенство (8.4.11) показывает, что квадрат коэффициента когерентности мал, когда мало отношение выходного сигнала к шуму 
и близок к 1, когда это отношение велико.
