8.4.2. Взаимный спектр линейной системы

В разд. 8.1.3 отмечалось, что иногда два случайных процесса связаны линейным соотношением вида

Таким образом, является входным процессом линейной системы, представляет собой соответствующий выход, сложенный с независимым шумом Из (8.1.8) находим взаимную ковариационную функцию выхода

Взяв преобразование Фурье от (8.4.3), получаем

Отсюда находим частотную характеристику

Сравнивая (8.4.3) с (8.4.4), мы видим, что изучение линейных систем легче проводить с помощью методов Фурье. Так, свертка из (8.4.3) переходит в произведение в (8.4.4). Переписывая (8.4.5) в виде

получаем следующие выражения для коэффициента усиления и фазы линейной системы:

Вспоминая, что взаимная амплитуда есть мера «ковариации» между на частоте а -«дисперсия» входа на этой же частоте, мы видим, что усиление играет роль коэффициента регрессии (4.3.7), но теперь он оценивается на каждой частоте.

Квадрат спектра когерентности. Эту аналогию можно продолжить дальше с помощью соотношения (8.1.9) для автоковариации

выхода, а именно

Взяв преобразование Фурье от этого равенства, получаем

Это выражение отличается от (6.2.15) только тем, что к выражению, полученному из входного процесса, добавляется спектр шума Подставляя (8.4.6) в (8.4.8), получаем

или

где

называется квадратом коэффициента когерентности между входом и выходом на частоте Функция частоты называется квадратом спектра когерентности.

Следует отметить сходство между (8.4.9) и уравнением (3.2.19), содержащим обычный коэффициент корреляции. Фактически коэффициент когерентности играет роль коэффициента корреляции, определенного для каждой частоты Таким образом, равенство (8.4.9) показывает, что когда спектр шума совпадает с выходным спектром, то коэффициент когерентности равен нулю. Другими словами, этот коэффициент равен нулю, если выход состоит из одного шума. Наоборот, если то квадрат коэффициента когерентности равен единице, а выходной спектр просто равен входному, умноженному на квадрат коэффициента усиления системы. Исключая из (8.4.8) и (8.4.10), получаем

Равенство (8.4.11) показывает, что квадрат коэффициента когерентности мал, когда мало отношение выходного сигнала к шуму и близок к 1, когда это отношение велико.