11.2. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

В этом разделе с помощью теории матриц выводятся основные свойства многомерных случайных процессов. В результате понятия, введенные в гл. 8—10, приобретают большую общность. Мы увидим, что при рассмотрении более чем двух процессов появляются новые и интересные особенности.

11.2.1. Матричная ковариационная функция

Действительные процессы. В разд. 8.1.2 было показано, что два стационарных случайных процесса удобно описывать во временной области с помощью их авто- и взаимной ковариационных функций. Предположим теперь, что требуется описать действительный многомерный случайный процесс, т. е. векторный процесс

компоненты которого являются одномерными процессами. Если ограничиться свойствами, зависящими от моментов второго порядка,

то многомерный процесс можно описать матричной функцией, определяемой для каждого значения запаздывания и соотношением

Матричная функция называется матричной ковариационной функцией (lagged covariance matrix) многомерного случайного процесса. Так как вообще говоря, не равно матрица в общем случае несимметрична. Однако она удовлетворяет соотношению

так как

Комплексные процессы. Матричная ковариационная функция комплексного многомерного случайного процесса определяется соотношением

Ее элементы такие же, как и у матрицы (11.2.1), но комплексные ковариации определяются равенствами

Другой способ представления вторых моментов многомерного процесса состоит в том, что задаются таблицы каждой авто- и взаимной ковариационной функции. Для наглядности предпочтительно иметь графики отдельных авто- и взаимных ковариационных функций.

Матричная корреляционная функция. Для многих практических целей и, в частности, для анализа временных рядов с различными масштабами измерения удобнее работать с матричной корреляционной функцией, состоящей из корреляций