11.3.3. Частная корреляция

Множественный коэффициент корреляции измеряет корреляцию между выходом и наилучшим прогнозом выхода с помощью всех входов. Однако полезно также уметь измерять корреляцию между выходом и одиночным входом. При решении этой задачи мы приходим к понятию частного коэффициента корреляции.

Чтобы проиллюстрировать основную идею, положим так что модель (11.3.1) имеет вид

Если отличны от нуля, то случайная величина очевидно, будет коррелирована как с так и с Однако коэффициенты корреляции описывающие корреляцию внутри пар по отдельности, не полностью характеризуют нужную нам корреляцию, так как сами могут быть коррелированы. Если принимать в расчет лишь то могло бы случиться в честве крайней ситуации, что порознь сильно коррелированы с в то время как «непосредственная» корреляция между очень мала.

Таким образом, до вычисления корреляции между необходимо устранить влияние переменной Этого можно добиться, если взять наименьшую среднеквадратичную регрессию величины на и величины на После этого частный коэффициент корреляции определяется как коэффициент корреляции между остаточными ошибками этих двух регрессий. Этим остаточным ошибкам соответствуют случайные величины

где ковариадия Тогда

Отсюда корреляция между равна

Эта величина называется частным коэффициентом корреляции между после учета влияния Соответствующий выборочный частный коэффициент корреляции получается в результате замены теоретических корреляций на их выборочные оценки Гц. Частный коэффициент корреляции получается с помощью перестановки индексов в (11.3.20).

Отметим, что в частном случае, когда случайные величины являются тремя последовательными значениями стационарного случайного процесса, мы имеем где -автокорреляционная функция, зависящая от запаздывания . В этом случае (11.3.20) сводится к

что совпадает с выражением для частного коэффициента автокорреляции, который мы обсуждали в разд. 5.4.3 и 11.1.1.

В общем случае для входных переменных частный коэффициент корреляции между выходом и любым из входов определяется как обычный коэффициент корреляции между где — полученные методом наименьших квадратов из всех величин кроме прогнозы случайных величин Величины, по которым строится прогноз, имеют индексы Это множество индексов мы обозначим Можно показать [1], что частный коэффициент корреляции записывается в следующем общем виде:

где — соответствующий элементу минор матрицы корреляций всех переменных.

Пример. Равенство (11.3.20) можно получить из (11.3.21) следующим образом:

так что

откуда и получается (11.3.20).

Дисперсионный анализ. Из (11.3.14) и (11.3.20), заменив теоретические корреляции на их выборочные аналоги, можно получить равенство

Если мы хотим проверить, насколько значимо величина (11.3.22) отличается от нуля, следует воспользоваться формулой (11.3.8), которая показывает, что остаточная сумма квадратов после подгонки и дает долю от полной суммы квадратов. В этом случае равенство (11.3.22) показывает, что уменьшение суммы квадратов, обусловленное подгонкой пропорционально величине а дальнейшее уменьшение, обусловленное подгонкой пропорционально Заметим, впрочем, что если сначала подгонять то (11.3.22) можно записать и в другом виде:

Такйм образом, разложение (11.3.9) можно записать в виде двух таблиц дисперсионного анализа, как показано в табл. 11.1.

Если мы хотим проверить гипотезу, что не участвует в прогнозе то надо взять отношение

и сравнить его с вероятностной границей, получаемой из -распределения. Точно так же, если желательно проверить, что не дает вклада в прогноз после того как уже подогнано, надо взять отношение

и сравнить его с вероятностной границей для -распределения.

Таблица 11.1. (см. скан) Таблица дисперсионного анализа для множественной регрессии

Пример. Чтобы проиллюстрировать введенные выше понятия, рассмотрим данные, полученные при изучении работы электростанции (рис. 11.1). Эти данные были профильтрованы с помощью низкочастотного цифрового фильтра

Выходной переменной была частота турбогенератора а входными переменными служили синфазный ток и сдвинутый по фазе Поскольку цифровой фильтр устраняет большую часть мощности на частотах выше гц, мы оставили в профильтрованном ряде лишь каждый двадцатый отсчет. В результате осталось 41 значение.

В модель

входят параметры характеризующие установившиеся усиления, связывающие токи с Нормальные уравнения (11.3.5) имеют вид

откуда получаем выборочные оценки: Множественный коэффициент корреляции, вычисленный

по формуле (11.3.14), равен 0,977, а частные коэффициенты корреляции, вычисленные по формуле (11.3.20), равны и . Результаты дисперсионного анализа этих данных приведены в табл. 11.2.

Таблица 11.2. Таблица дисперсионного анализа для данных о токах и частоте турбогенератора

Имеющие -распределение отношения, приведенные в табл.

11.2, очень велики. Поэтому можно считать, что вклад обоих токов в прогноз частоты весьма значителен. Это сразу видно и из больших значений частных коэффициентов корреляции. Из табл. 11.2 видно также, что синфазный ток более важен для прогноза частоты, так как соответствующая ему доля уменьшения полной суммы квадратов больше, чем для тока, сдвинутого по фазе. Это следует из того, что в то время как Однако большая величина частного коэффициента корреляции показывает, что сдвинутый по фазе ток также вносит существенный вклад в прогноз частоты.