Глава 7. ПРИМЕРЫ ОДНОМЕРНОГО СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА

В этой главе теория, изложенная в гл. 6, применяется для получения практических способов оценивания спектров по наблюдаемым временным рядам. Для того чтобы читатель приобрел опыт в вычислениях, которые нужно при этом проводить, в разд. 7.1 проиллюстрировано влияние изменения полосы частот окна и его формы на спектральные оценки искусственных временных рядов. В разд. 7.2 вводится один практический метод оценивания спектров, названный стягиванием окна. Для этого метода нужно сначала использовать окно с широкой полосой частот, а затем постепенно уменьшать полосу до тех пор, пока не выявятся все важные детали спектра. Однако такая процедура бывает иногда очень неустойчивой из-за сильной изменчивости выборочных оценок спектра, обусловленных малой длиной временного ряда.

В разд. 7.3 обсуждаются практические вопросы, возникающие при оценивании спектров, а также приводится стандартный метод оценивания, который можно применять на практике. Подчеркивается важность предварительной фильтрации данных для устранения низкочастотных трендов. В разд. 7.4 даются примеры спектрального анализа в грех прикладных областях: построении моделей, планировании экспериментов и изучении частотных характеристик.

7.1. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИСКУССТВЕННЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

В этом разделе вычисляются выборочные оценки спектров для искусственных временных рядов. Это сделано для того, чтобы читатель приобрел опыт в интерпретации выборочных спектральных оценок. В разд. 7.1.1 даются формулы, непосредственно пригодные для вычисления на цифровых машинах выборочных сглаженных спектральных оценок, а также приводятся результаты вычислений выборочных характеристик. Затем в разд. 7.1.2 проиллюстрировано влияние изменения точки отсечения корреляционной функции на спектр. Для этого функция сравнивается с в случае, когда процесс является авторегрессией первого или второго порядка. Чтобы подготовить приведенное в разд. 7.2

обсуждение практических способов сглаживания, проводится исследование влияния точки отсечения (разд. 7.1.2) и формы спектрального окна (разд. 7.1.3) на спектральные оценки.

7.1.1. Формулы для дискретного оценивания

В предыдущих главах статистическая теория спектрального оценивания была развита в предположении, что данные непрерывны. Однако во многих случаях данные являются дискретными по существу, как, например, данные о партиях продукта на рис. 5.2, и, следовательно, необходимы дискретные формулы. Кроме того, все более широкое распространение в настоящее время получают цифровые вычислительные машины благодаря своей точности, универсальности и относительной доступности. Поэтому можно предположить, что в большинстве случаев спектральный анализ будет теперь проводиться с помощью цифровых вычислительных машин. Следовательно, непрерывный, или аналоговый, сигнал нужно отсчитывать в дискретные моменты времени, как это описывалось в гл. 2, и отсчитанные значения переводить в числа, содержащие конечное число цифр. Процесс перевода из аналоговой в цифровую форму называется квантованием. Детальный разбор влияния этого процесса на корреляционный анализ можно найти в [1]. Мы будем предполагать, что квантование производится с достаточно малым шагом, так что при переводе из аналоговой в цифровую форму не вносится никаких ошибок. Практически это означает, что данные нужно отсчитывать с точностью, равной одной десятой (или одной сотой) от полного диапазона изменения сигнала.

Предположим, что цифровые данные соответствуют значениям сигнала отсчитанного через интервалы . В таком случае сглаженная выборочная оценка спектра получается с помощью замены интеграла (6.3.28) соответствующей суммой

В (7.1.1) выборочная оценка ковариационной функции равна

Как и раньше, обозначает корреляционное окно с точкой отсечения М, но теперь оно определено лишь в дискретные

моменты времени Отметим, что до оценивания ковариационной функции может возникнуть необходимость фильтрации данных по формулам (5.3.27) или (5.3.31).

Так как - четная функция частоты, ее нужно вычислять лишь для интервала частот Но для сохранения соотношения преобразований Фурье между выборочным спектром и выборочной ковариационной функцией нужно удвоить мощность в интервале частот Таким образом, обычно используемая формула имеет вид

и функцию (7.1.2) требуется вычислять лишь при

Для удобства вычислений предположим, что При этом все группы данных можно будет обрабатывать одинаково. Таким образом, вычислительная формула принимает вид

При выборочную оценку (7.1.1) можно восстановить по (7.1.4), умножив (7.1.4) на и построив ее в зависимости от а не от

Наконец, если вместо ковариаций использовать корреляции, то можно получить сглаженную выборочную оценку нормированной спектральной плотности по формуле

В работе [2] было предложено вычислять лишь в точках Такой шаг по частоте слишком велик, и мы считаем, что для получения более детального графика ее нужно вычислять с шагом, составляющим лишь некоторую долю от

В действительности нет никакой необходимости связывать шаг по частоте для с точкой отсечения Таким образом, шаг по частоте для можно взять равным где в 2—3 раза больше, чем Следовательно, окончательная формула для

цифровых вычислений сглаженной выборочной оценки нормированного спектра принимает вид

Логическая схема соответствующей вычислительной программы приведена в Приложении

Вычисление выборочных характеристик. Выборочные корреляции для дискретного процесса авторегрессии второго порядка (5.3.36) приведены в табл. 5.2.

Рис. 7.1. (см. скан) Сглаженная выборочная оценка нормированного спектра процесса авторегрессии второго порядка с помощью окна Бартлетта.

Эти величины можно использовать для получения выборочной оценки нормированного спектра следующим образом. Воспользовавшись, например, корреляционным окном Бартлетта

получаем из (7.1.6) сглаженную выборочную оценку нормированного спектра

Например, при эта выборочная оценка равна

Если нужны выборочные оценки с шагом по частоте гц (так что то, взяв значения выборочной корреляционной функции из табл. 5.2, можно расположить вычисления так, как показано в табл. 7.1.

Таблица 7.1 (см. скан) Пример вычисления выборочной спектральной оценки

Эти выборочные оценки нормированного спектра показаны точками на рис. 7.1. Видно, что через эти точки можно вполне однозначно провести плавную кривую. На этом же графике крестиками отмечены выборочные оценки с шагом как это рекомендуется в [2]. Видно, что шаг по частоте в этом случае слишком велик для того, чтобы можно было точно построить график и провести интерполяцию. На графике показана также ширина полосы частот использованного спектрального окна. При эта ширина для окна Бартлетта равна

Мы видим, что в этом случае ширина полосы равна всему частотному диапазону, и, следовательно, выборочная оценка сильно сглажена.