Главная > Спектральный анализ и его приложения. Выпуск 2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ПРИЛОЖЕНИЕ П7.3. АЛГОРИТМ БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Недавним новшеством в спектральном анализе является алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ). С помощью этого алгоритма дискретное преобразование Фурье вычисляется гораздо быстрее, чем с помощью прямого метода, приведенного в разд. 2.1.2, и с той же самой точностью. Так, используя прямой метод для вычисления дискретного преобразования Фурье ряда из членов, потребовалось бы приблизительно операций, в то время как БПФ требует лишь операций. Экономия времени вычислений может быть очень велика, если нужно проводить анализ Фурье длинных рядов. Например, для вычисления с помощью БПФ коэффициентов Фурье ряда из членов [1] требовалось около 5 сек на вычислительной машине в то время как для прямого метода нужно было около 30 мин.

Важность БПФ для спектрального анализа заключается в том,

что теперь оказалось быстрее вычислять выборочный спектр прямо с помощью БПФ и затем сглаживать его, чем вычислять корреляционную функцию, сглаживать ее корреляционным окном и затем, наконец, брать ее преобразование Фурье. Несмотря на эти вычислительные преимущества, мы не считаем, что доводы за использование БПФ в спектральном анализе столь же сильны, как в анализе Фурье, по следующим причинам.

1. По опыту авторов быстродействующие вычислительные машины, имеющиеся в настоящее время, вполне удовлетворяют требованиям спектрального анализа и даже перекрывают их. Сейчас наши вычислительные возможности намного превосходят нашу способность правильно истолковать практические данные.

2. Мы рассматриваем корреляционную функцию как очень ценную промежуточную ступень спектрального анализа. Графики корреляционных функций исходного ряда и ряда из его первых разностей нужны для того, чтобы решить:

а) необходимо ли брать разности или нет,

б) где выбрать подходящие точки отсечения,

в) какая требуется величина выравнивания при анализе взаимной корреляции двух рядов.

Описание алгоритма быстрого преобразования Фурье. Полное описание БПФ приведено в [2], а история его открытия и повторного открытия изложена в [3]. Эти статьи входят в специальный выпуск журнала [4], где помещены также статьи об использовании БПФ при вычислении некоторых других преобразований [5, 6]. Мы будем следовать изложению [2].

Предположим, что требуется найти преобразование Фурье ряда где — четное. Один из способов [6] заключается в расщеплении ряда на два вспомогательных ряда где

Каждый из рядов содержит членов, и преобразования Фурье этих рядов имеют вид

где верхний индекс преобразованных величин указывает число членов ряда, которое совпадает с числом членов преобразования.

Величины связаны следующими соотношениями:

Кроме того,

так что

Следовательно, окончательный результат равенств имеет вид

и мы видим, что преобразование Фурье ряда легко получить из преобразований Фурье вспомогательных рядов Подобным образом при четном можно расщепить каждый из рядов на два ряда соответственно и

вести соответствующий вариант формулы (П7.3.5), который выразит преобразования через преобразования рядов длиной

Для рядов длины эту процедуру можно продолжать до тех пор, пока расщепление не приведет к рядам, состоящим из одного члена; в этом случае преобразование Фурье этого члена совпадает с ним самим. В случае если не равно степени двойки, расщепление на два ряда продолжается до тех пор, пока либо легко взять преобразование Фурье вспомогательного ряда, либо пока не встретится новый множитель скажем 3. Процедура при этом остается той же самой, что и выше, с той лишь разницей, что очередной вспомогательный ряд расщепляется на три ряда. Подробности приведены в [2]. Ниже разобран пример.

Пример. Рассмотрим ионосферные данные из гл. 2, где Данные таковы:

Расщепление на два дает следующие ряды:

Расщепление на два дает ряды

Преобразование Фурье рядов уже нетрудно вычислить. Каждое из них состоит из трех членов, как показано ниже.

Затем с помощью формулы (П7.3.5) вычисляются преобразования Фурье Например,

Преобразование получается аналогично, и, сводя вместе получаем таблицу.

Комбинируя эти значения по формуле получаем оконча тельное преобразование Например,

Полное преобразование имеет вид

С точностью до сдвига фазы, вызванного изменением начала отсчета времени, эти значения совпадают со значениями, приведенными в табл. 2.2, которые были вычислены с помощью метода разностного уравнения, описанного в Приложении или же с помощью прямого метода гл. 2.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru