11.1. СВОЙСТВА МАТРИЦЫ КОВАРИАЦИЙ

11.1.1. Матрица ковариаций действительного случайного процесса

В разд. 3.1.5 было показано, что зависящие от вторых моментов свойства набора случайных величин определяются их матрицей ковариаций (3.1.20). Поскольку случайный процесс содержит бесконечное множество случайных величин, его свойства, зависящие от моментов второго порядка, определяются матрицами ковариаций наборов значений процесса в произвольные моменты времени Для дискретного стационарного процесса и для равно-? отстоящих отсчетов по времени мы будем иметь

где — автокорреляционная функция. Матрица ковариаций, соответствующая таким отсчетам, представляет собой таблицу, в которой на пересечении строки и столбца стоит элемент Таким образом, пользуясь равенством (11.1.1), матрицу ковариаций можно записать в виде

Матрица, обладающая тем свойством, что ее элементы на линиях, параллельных главной диагонали, равны (как, например, в матрице (11.1.2)), называется тёплицевой.

Свойство положительной полуопределенности. Как отмечалось в разд. 3.1.5, матрица ковариаций набора случайных величин является положительно полуопределенной. Следовательно, для любого матрица ковариаций стационарного случайного процесса является положительно полуопределенной, т. е. все главные миноры определителя этой матрицы неотрицательны. Отсюда следует, что автокорреляции стационарного временного ряда должны подчиняться некоторому множеству ограничений. Например, при из следует, что

Аналогично, рассматривая пару случайных величин получаем для любого

Более интересный пример получается при . В этом случае

нетрудно проверить, из (11.1.3) следует

Первое из условий (11.1.4) не добавляет ничего нового, но второе дает ограничение, которому должны удовлетворять Чтобы проиллюстрировать это ограничение, рассмотрим процесс авторегрессии первого порядка, для которого Функция

для процесса авторегрессии первого порядка равна нулю. Следовательно, когда отлична от нуля, она дает меру избыточной корреляции по сравнению с процессом авторегрессии первого порядка. Таким образом, можно использовать для проверки возможности описания эмпирического временного ряда с помощью процесса первого порядка (разд. 5.4.3).

В более общем случае, рассматривая можно показать, что

лежит между , где — алгебраическое дополнение мента в матрице Зависящая от функция называется частной автокорреляционной функцией. Она обладает тем свойством, что для процесса авторегрессии -го порядка

Следовательно, можно использовать для проверки возможности описания эмпирического временного ряда с помощью процесса авторегрессии данного порядка.