11.3.4. Многомерный анализ, несколько выходных процессов

Модель. В предыдущих разделах предполагалось, что имеется лишь одна выходная переменная и несколько входных переменных. В общем случае будет несколько выходных переменных, так что модель регрессии можно записать в виде

Раздел статистики, в котором рассматриваются модели вида (11.3.23), называется многомерным статистическим анализом. Такой анализ изложен в [1].

Нормальные уравнения. Можно показать [1], что выборочные оценки параметров, минимизирующие определитель матрицы выборочных ковариаций, совпадают со значениями параметров, минимизирующими по отдельности остаточные суммы квадратов

Это означает, что во всем, что касается оценочных уравнений, многомерный анализ сводится к отдельным схемам многомерного регрессионного анализа. Отсюда с помощью (11.3.5) получаем нормальные уравнения

Уравнения (11.3.24) можно записать после транспонирования в виде одного матричного уравнения

где — матрица ковариаций входных переменных, имеющая размеры — матрица взаимных ковариаций входных и выходных переменных, имеющая размеры

Пример. Рассмотрим систему с двумя входами и двумя выходами, в которой

Выборочные оценки равны

а нормальные уравнения имеют вид

или в единой матричной форме (11.3.25)

Матрица ковариаций остаточных ошибок. Так как с помощью модели (11.3.23) описываются системы со взаимодействием между

входами, естественно считать, что случайные величины коррелированы в одинаковые моменты времени и имеют матрицу ковариаций с элементами Соответствующая матрице матрица выборочных ковариаций имеет элементы

Равенства (11.3.26) можно упростить с помощью нормальных уравнений (11.3.24), что дает

Матрица ковариаций оценок. Поскольку нормальные уравнения получены при отдельном рассмотрении каждой из регрессий в (11.3.23), из (П4.1.9) следует, что матрица ковариаций оценок параметров, входящих в какое-нибудь одно из уравнений (11.3.23), равна

С помощью (11.3.24) остальные ковариации оценок параметров, входящих в разные уравнения (11.3.24), можно найти из равенств

Отсюда матрицу ковариаций оценок всех параметров, имеющую размеры можно записать в виде

где Матрицу (11.3.29) можно компактнее записать в виде прямого произведения матрицы входных ковариаций и матрицы ковариаций остаточных ошибок

Выборочную оценку матрицы (11.3.30) можно получить, если заменить в (11.3.29) на выборочные оценки (11.3.27). С помощью (11.3.30) можно получить доверительную область для полного вектора параметров

Пример. Для упоминавшейся выше системы с двумя входами и двумя выходами выборочная матрица ковариаций остаточных ошибок из (11.3.27) равна

Матрицы ковариаций оценок параметров, входящих либо в одно уравнение, либо в другое, по отдельности равны

где

Отсюда

Далее, матрица ковариаций оценок всех параметров (11.3.29) равна

И наконец, выборочная оценка матрицы дается равенством